一個(gè)三角形分割成兩個(gè)等腰三角形的條件和分法

摘要：通過對(duì)一個(gè)三角形分割成兩個(gè)等腰三角形的條件的討論，找到可分割的條件和分法。
關(guān)鍵詞：分割線 可分割 直角三角形 等腰三角形
在數(shù)學(xué)問題中常碰到把一個(gè)三角形分割成兩個(gè)等腰三角形，本文試圖通過對(duì)這類問題的討論，找到其中的規(guī)律。在文中所討論的分割都是經(jīng)過三角形的一個(gè)頂點(diǎn)的一條直線把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)等腰三角形，如果存在這樣的直線，我們稱這樣的三角形為可分割；否則稱不可分割。這樣的直線我們稱為分割線。
一、直角三角形是否可分割？
因?yàn)橹苯侨切涡边吷系闹芯€等于斜邊的一半，所以直角三角形斜邊上的中線一定分這個(gè)直角三角形為兩個(gè)等腰三角形。
結(jié)論1：直角三角形是可分割的。直角三角形斜邊上的中線為分割線。一般直角三角形的直角頂點(diǎn)只有這樣一種分法。特別地，如果直角三角形中有一個(gè)銳角為22.5°（或有一個(gè)銳角為67.5°），則還有另外一種分法如圖：
二、一般三角形是否可分割？
我們先討論如果經(jīng)過三角形的一個(gè)頂點(diǎn)把一個(gè)三角形分成兩個(gè)等腰三角形時(shí)，三角形中的角之間存在怎樣的關(guān)系。
在 中，不妨設(shè) 是其最小的內(nèi)角。
（1）因?yàn)?是三角形中最小的內(nèi)角，所以不存在過頂點(diǎn)C的分割線。
（2）過頂點(diǎn) 的一條直線把這個(gè)三角形分割成了兩個(gè)等腰三角形，那么 與 之間存在怎樣的關(guān)系呢？設(shè) ， ，過點(diǎn) 的直線交邊 于 ．在 中。
①若 是頂角，如圖1，則 ， = ， ．此時(shí)只能有 ,即 ，∴ ，即 ．
②若 是底角，則有兩種情況．
第一種情況：如圖2，當(dāng)DB=DC時(shí)，則 ，在△ABD 中， ， ．因?yàn)椤鰽BD 也是等腰三角形，所以對(duì)△ABD 也要分三種情況進(jìn)行討論：
1 ．由AB=AD，得 ，此時(shí)有 ，即 ．
2 ．由AB=BD，得 ，此時(shí) ，即 ．
3 ．由AD=BD，得 ，此時(shí) ，即 ， 為小于 的任意銳角．
第二種情況，如圖3，當(dāng)BD=BC時(shí)， ，因?yàn)?為三角形中最小的角，必定為銳角，所以 ，此時(shí)△ABD是等腰三角形，只能有AD=BD，從而 ，這與題設(shè) 是最小角矛盾． 所以當(dāng) 是底角時(shí)，BD=BC不成立．
（3）類似地，我們可以討論如果從點(diǎn)A作一條直線把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)等腰三角形。
綜合上面的討論，我們可以得到如下結(jié)論：
結(jié)論2：
在△ABC中， 為最小角，當(dāng) 滿足① ；② ；③ ；④ 這四個(gè)條件中的任意一個(gè)，即可經(jīng)過點(diǎn)B畫分割線。當(dāng) 滿足① ；② ；③ ；④ 中的一個(gè)，即可以經(jīng)過點(diǎn)A畫分割線。
三、等腰三角形是否可分割？
(一)當(dāng)△ABC是等邊三角形時(shí),顯然不能分為兩個(gè)等腰三角形。
(二)當(dāng)△ABC是腰和底邊不相等的等腰三角形時(shí),同樣不妨設(shè)最小的角為 ，
1.如果最小的角為底角，則這個(gè)三角形的另兩個(gè)角的度數(shù)分別為 ， ，根據(jù)結(jié)論2，可得①當(dāng) ， 時(shí)，三角形可分割，三角形三個(gè)角的度數(shù)為45，45，90；②當(dāng)  ， 時(shí)，三角形可分割，三角形三個(gè)角的度數(shù)為36，36，108；③當(dāng)  ， 時(shí)，三角形可分割，三角形三個(gè)角的度數(shù)為36，36，108；④當(dāng) =90， 時(shí)，三角形可分割，三角形三個(gè)角的度數(shù)為45，45，90。
2.如果最小的角為頂角，則這個(gè)三角形的另兩個(gè)角的度數(shù)均為 。根據(jù)結(jié)論2，可得①當(dāng)  ， 時(shí)，三角形可分割，三角形三個(gè)角的度數(shù)為 ， ， ；②當(dāng)  ， 時(shí)，三角形可分割，三角形三個(gè)角的度數(shù)為36，72，72。
綜上所述，我們可得：
結(jié)論3：等腰三角形的可分割只有四種情況，三個(gè)角的度數(shù)分別如下①45，45，90：②36，36，108；③ ， ， ；④36，72，72。其中①,②兩種情況的分割線經(jīng)過頂角頂點(diǎn)；③，④兩種情況的分割線經(jīng)過底角頂點(diǎn)。