淺述高中數(shù)學(xué)新課程立體幾何教學(xué)中的問題與思考

摘要：“立體幾何”可謂是高中數(shù)學(xué)課程的重點(diǎn)，作為高中數(shù)學(xué)課程中用于培養(yǎng)學(xué)生空間想象力的一門課程，一直是高中數(shù)學(xué)新課程改革的重點(diǎn)。在高中數(shù)學(xué)新課程立體幾何的教學(xué)的時(shí)候，我們發(fā)現(xiàn)一些問題，如何處理它們，是新課程教學(xué)是否可以取得成功的關(guān)鍵。本文在學(xué)生與教師兩方面探索新課程立體幾何教學(xué)的問題，從分析“立體幾何”部分的內(nèi)容與要求出發(fā)，討論了教學(xué)過程中遇到的具體問題，并進(jìn)行了思考。

關(guān)鍵詞：立體幾何；內(nèi)容要求；結(jié)構(gòu)體系；問題

縱觀過往二十年的高中數(shù)學(xué)課程，變化最顯著的就是立體幾何教學(xué)課時(shí)的不斷減少，從1997年前的57個(gè)課時(shí)到之后的39個(gè)課時(shí)，再到現(xiàn)在的30個(gè)課時(shí)。新課程立體幾何的教學(xué)最為顯著的是基于共同的基礎(chǔ)，為學(xué)生呈現(xiàn)了多種課程，滿足學(xué)生的自身需求，關(guān)心教學(xué)的實(shí)質(zhì)目標(biāo)，注重實(shí)踐。最直接的就是將課程內(nèi)容劃分成各個(gè)模塊以及專題，并且講究由實(shí)際生活抽象出書本知識(shí)，以書本知識(shí)處理具體的應(yīng)用問題等等?？陀^來說，本次改革的理念是很有創(chuàng)新思想的，在實(shí)際教授過程中，也得到了很多積極的評(píng)價(jià)。但不可否認(rèn)每一個(gè)新的嘗試都會(huì)有一定的瑕疵，實(shí)踐證明有些地方還是需要改進(jìn)的。

一、立體幾何的結(jié)構(gòu)問題及思考

高中數(shù)學(xué)新課程對(duì)立體幾何的教學(xué)結(jié)構(gòu)與要求進(jìn)行了創(chuàng)新，創(chuàng)新后的立體幾何著重于提升學(xué)生觀察圖形的能力、空間想象力、邏輯推理的能力等。在教學(xué)內(nèi)容的布局上也進(jìn)行了一定程度的更改，不同于過去的從點(diǎn)及線、到面、再到體，從細(xì)節(jié)到總體循序漸進(jìn)的方法，新課程是由總體到細(xì)節(jié)層層解離，且對(duì)直觀感知、思辨論證、度量計(jì)算等探索過程比較看重。

對(duì)于新課程立體幾何教授中出現(xiàn)的問題，老師們是最有發(fā)言權(quán)的，從實(shí)踐當(dāng)中總結(jié)出來之后，他們對(duì)于立體幾何的教授提出了一些寶貴的意見。新課程是先教授簡單幾何體部分，然后通過現(xiàn)實(shí)物體和計(jì)算機(jī)軟件分析空間圖形，了解各種不同形狀的性質(zhì)及特點(diǎn)，最后將書本知識(shí)運(yùn)用到現(xiàn)實(shí)生活中，去體會(huì)簡單物體的結(jié)構(gòu)。對(duì)于結(jié)構(gòu)特征，江蘇省大豐中學(xué)的王悅老師指出：“結(jié)構(gòu)特征即為幾何體的特征性質(zhì)。了解幾何體的性質(zhì)特點(diǎn)，可以了解幾何體組成的方式及特點(diǎn)……因?yàn)楦咧械膶W(xué)生對(duì)幾何體結(jié)構(gòu)特征的研究還沒有定理保證，只能通過觀察得出結(jié)論，而這種感性的認(rèn)識(shí)無法使學(xué)生完全地了解幾何體的性質(zhì)特點(diǎn)。”

在新的授課過程中對(duì)于不等式部分的教學(xué)，是先進(jìn)行了具體不等式形式的教學(xué)，比如基本不等式、柯西不等式等等，然后再進(jìn)行不等式基本性質(zhì)的教學(xué)；在平面幾何部分，先進(jìn)行了多邊形和圓的性質(zhì)的教學(xué)，再進(jìn)行了有關(guān)兩條直線之間位置關(guān)系等基本性質(zhì)的教學(xué)。但是筆者認(rèn)為，后者是前者的基礎(chǔ)知識(shí)，應(yīng)當(dāng)由淺及深，先讓學(xué)生接收基礎(chǔ)知識(shí)，再學(xué)習(xí)復(fù)雜的東西。否則，學(xué)生學(xué)習(xí)會(huì)非常有難度。

此外，三垂線定理及其逆定理是大家很熟悉的一條重要定理，其是用于證明平面內(nèi)一條直線與平面的斜線垂直的定理，對(duì)立體幾何問題的解決具有不可忽視的作用。改革后這部分內(nèi)容在數(shù)學(xué)選修2—1，僅僅于一個(gè)例題中進(jìn)行了證明，卻未進(jìn)行一定的練習(xí)，這就使該定理的作用減弱了。改革后其僅僅用長方體模型為過渡學(xué)習(xí)空間三要素的位置關(guān)系，筆者認(rèn)為這樣的安排使得空間位置關(guān)系的學(xué)習(xí)背景過于簡單，與實(shí)際環(huán)境相差太遠(yuǎn)，對(duì)后期立體幾何的學(xué)習(xí)不夠有效。

二、立體幾何新增內(nèi)容問題及思考

新課程增加了三視圖的那部分內(nèi)容，這能夠有效地加強(qiáng)他們的空間想象能力，使他們對(duì)立體幾何有更加直觀的理解。在舊教材的“立體幾何”內(nèi)容中，這方面不夠全面。三視圖相關(guān)內(nèi)容的添加在一定程度上完善了知識(shí)結(jié)構(gòu)。因?yàn)閷W(xué)生對(duì)圖形不僅僅是要觀察，也應(yīng)該進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)卣撟C，只有深刻的理解了，才能在以后的學(xué)習(xí)過程中減少困惑。我們?cè)谑谡n過程中讓學(xué)生可以靠觀察和認(rèn)識(shí)直接畫出立體幾何體的三視圖與直觀圖，并可以根據(jù)立體幾何體的直觀圖轉(zhuǎn)化出立體幾何體的三視圖，也可以將三視圖轉(zhuǎn)化出立體幾何體的直觀圖等。這種讓他們經(jīng)歷“實(shí)物模型—三視圖—直觀圖”的自由轉(zhuǎn)換，可以讓學(xué)生更加直觀的認(rèn)識(shí)立體幾何，也可以讓學(xué)生不容易忘記。這些數(shù)學(xué)活動(dòng)是培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力的最佳方式之一。通過這樣的方式來認(rèn)識(shí)立體幾何，立體幾何的教學(xué)策略才更加全面。

基于以上原因，我們可以認(rèn)為，教師應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生學(xué)會(huì)正視圖、側(cè)視圖、俯視圖的“安置”位置，對(duì)三視圖有更加深入的了解。并且知曉三視圖中“長對(duì)正、高平齊、寬相等”的作圖要求，了解三視圖的一般特點(diǎn)，對(duì)于一些細(xì)節(jié)的畫圖方式可以不用要求。這部分內(nèi)容的增加雖然給學(xué)生的學(xué)習(xí)增加了一定的難度，但是對(duì)今后的立體幾何學(xué)習(xí)會(huì)提供很多方便。

三、判定定理的證明問題及思考

新課程注重的是合情推理與演繹推理的聯(lián)合。比如，對(duì)直線與平面關(guān)系以及平面與平面關(guān)系的判定定理，僅僅要求直接操作就進(jìn)行“確認(rèn)”，并不需要進(jìn)行嚴(yán)格證明，認(rèn)為通過這種教學(xué)方式來培養(yǎng)合情推理的能力。

筆者認(rèn)為，這與數(shù)學(xué)的科學(xué)性要求想違背的，利用合情推理僅僅可以得到結(jié)論的某些假設(shè)，結(jié)論的正確性需要嚴(yán)格的證明才能真正加以“確認(rèn)”。此外，如果由于立體幾何的課時(shí)減少了，不得不減少一些內(nèi)容的教授，那也應(yīng)當(dāng)權(quán)衡一下各個(gè)部分內(nèi)容的輕重。筆者認(rèn)為判定定理的證明應(yīng)當(dāng)比性質(zhì)定理的證明更為重要，原因是判定定理是為了證明垂直或平行等關(guān)系的正確性，它為整個(gè)內(nèi)容的基石。皮之不存，毛將焉附，如果這種重要基礎(chǔ)地位無法證明，還有什么性質(zhì)可言呢？

此外，性質(zhì)定理的證明比判定定理的證明要簡單一定，就是定義的直接應(yīng)用而已。因此，從提高學(xué)生認(rèn)識(shí)能力的角度看，學(xué)習(xí)不容易證明的判定定理比性質(zhì)定理更具有必要性。例如，在有關(guān)直線和平面垂直位置的證明定理中，定理的判定條件已然存在，能夠一下子得到結(jié)論，舊課程中的證明過程簡單明了，可以很好的提升學(xué)生的立體幾何感。新課程中，未要求進(jìn)行判定定理的證明，但是在后期的應(yīng)用當(dāng)中直接將定理加以了引用，卻把定理的證明放置到了數(shù)學(xué)選修2—1當(dāng)中。盡管在后面使用向量證明此定理非常簡單，但是先后順序的安排不夠合理，且過的時(shí)間太久，學(xué)生們對(duì)定理證明幾乎不重視了。

此外，對(duì)于判定定理的證明可以端正他們的學(xué)習(xí)態(tài)度，培養(yǎng)理性思維。根據(jù)以往的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，如何由已知條件為直線和平面內(nèi)兩條相交直線垂直，推導(dǎo)出直線與該平面相垂直的結(jié)論，也就是推導(dǎo)出直線與該平面內(nèi)每一條直線都相互垂直的問題。學(xué)生們會(huì)有探索的欲望，我們應(yīng)當(dāng)保護(hù)和培養(yǎng)學(xué)生的這種探究精神和態(tài)度。此外，空間關(guān)系判定定理的證明部分的內(nèi)容放置到了數(shù)學(xué)選修2—1，如果學(xué)生選修的是數(shù)學(xué)1—1以及數(shù)學(xué)1—2就沒有機(jī)會(huì)去理解這些重要的判定定理，知識(shí)結(jié)構(gòu)就不夠完整，這樣不太合理．

四、向量與幾何問題及思考

將空間向量和立體幾何結(jié)合起來，往往會(huì)將數(shù)學(xué)難題簡單化。向量為立體幾何提供了另一種解決空間圖形問題的手段，可以讓學(xué)生更加容易領(lǐng)略到機(jī)械化的數(shù)學(xué)方法。向量方法與立體幾何結(jié)合最大的特點(diǎn)就是把某些立體幾何問題算法化。實(shí)際上，向量不必分成平面向量和空間向量，任何一個(gè)向量都是空間中的一個(gè)向量，因此對(duì)于向量的研究應(yīng)該可以直接從空間向量開始分析。

然而在中學(xué)數(shù)學(xué)的課程教室過程中，往往都是先學(xué)習(xí)平面向量，再學(xué)習(xí)空間向量。如此安排的初衷應(yīng)該是，這樣可以使向量的知識(shí)能夠在平面問題中先進(jìn)行應(yīng)用，遵循知識(shí)學(xué)習(xí)的階段性、螺旋式，使學(xué)生容易接受向量的學(xué)習(xí)。

筆者認(rèn)為將空間向量的知識(shí)早點(diǎn)教授給學(xué)生，能夠使很多幾何問題得出更多不同的解決方法，不過這個(gè)方案還是有缺陷的，還需要進(jìn)一步討論。此外，向量和平面幾何的有機(jī)結(jié)合問題也需要討論，平面向量的引入可以更好地解決平面幾何的問題，這已經(jīng)有很多成功的案例了，例如20世紀(jì)初俄國的《幾何學(xué)標(biāo)準(zhǔn)(草案)》將這部分內(nèi)容引入了教材。

五、關(guān)于幾何模型的作用與價(jià)值及思考

所謂幾何模型，就是將實(shí)際物體抽象出來的空間幾何體。幾何模型最大的優(yōu)點(diǎn)就是直觀、具體，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力、空間想象力有非常大的幫助。最簡單的空間幾何體，就是長方體，上面的每個(gè)元素之間的位置關(guān)系，是研究空間中各個(gè)元素位置關(guān)系的最佳手段。

在進(jìn)行新課程的教授時(shí)，不但要指引學(xué)生從生活實(shí)際出發(fā)，把書本上的知識(shí)和生活中的實(shí)物聯(lián)系起來；而且要教會(huì)學(xué)生體會(huì)從現(xiàn)實(shí)的生活概括出概念圖形的能力，注意感受空間圖形的位置關(guān)系，抽象得到它們的證明定理和性質(zhì)定理。比如，在教授有關(guān)直線和平面、平面和平面位置關(guān)系證明定理的時(shí)候，應(yīng)當(dāng)指引學(xué)生經(jīng)過觀察，證明，抽象出直線和平面的關(guān)系、平面和平面的關(guān)系，并進(jìn)行判定；而在教授它們的性質(zhì)定理的時(shí)候，也應(yīng)當(dāng)指引學(xué)生學(xué)會(huì)觀察實(shí)際生活，發(fā)現(xiàn)問題，學(xué)會(huì)自己探索。最終的目的是指引學(xué)生學(xué)會(huì)觀察圖形，然后進(jìn)行歸納、類比，學(xué)會(huì)直線和平面、平面和平面垂直或者平行位置關(guān)系的性質(zhì)定理和證明定理。然后再進(jìn)一步這些基礎(chǔ)的定理去找出簡單的空間位置關(guān)系。

由此可見，立體幾何在抽象出形象的幾何模型的過程中具有不可忽視的作用，而模型又是是學(xué)生接受立體幾何知識(shí)的有效載體。其直觀、具體的特點(diǎn)，既讓學(xué)生更加容易感受、體會(huì)抽象的概念，又有助于培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，提高學(xué)生的空間想象力。

六、總結(jié)

綜上所述，新課程立體幾何的改革雖然使得很多地方得到了改進(jìn)，但是在實(shí)際教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)還是有一些地方出現(xiàn)了問題，顯得不太合理。本文從實(shí)際教學(xué)過程中總結(jié)出這些問題，并進(jìn)行了一定的思考。本文提出應(yīng)當(dāng)從學(xué)生以及教師兩方面進(jìn)行改進(jìn)。在學(xué)生的學(xué)習(xí)方面，應(yīng)當(dāng)關(guān)注于引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，鼓勵(lì)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，且不可急于求成，注意教學(xué)質(zhì)量。而在教師方面，教師應(yīng)當(dāng)先正確認(rèn)識(shí)新教材中立體幾何部分的教授內(nèi)容及結(jié)構(gòu)，然后在教學(xué)過程中盡量尋求引起他們學(xué)習(xí)興趣的、符合新標(biāo)準(zhǔn)的手段，不拘泥于形式，要有自己的想法，以學(xué)生的學(xué)習(xí)效果為主要評(píng)價(jià)方向，不斷改進(jìn)立體幾何的教學(xué)。

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