高等職業(yè)院校文科數(shù)學教育的探討Ⅱ

 函數(shù)是實數(shù)集合與實數(shù)集合的關(guān)系，一種特殊的關(guān)系.函數(shù)對每個實數(shù)x的像f（x）也是一個實數(shù)，而且是唯一的，這樣對函數(shù)我們同樣可以進行加減乘除，代替字母的數(shù)可以看作是在實數(shù)集合或其一部分上的一個變量，當然了，特殊點仍然要除外.當我們考察數(shù)的運算及變量間的關(guān)系時，發(fā)現(xiàn)實數(shù)與實數(shù)集合間的函數(shù)關(guān)系，可以用初等運算表示出來的只有常值函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)幾種，我們稱這幾種函數(shù)為基本初等函數(shù)，其中的指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)與反三角函數(shù)是兩對關(guān)系與反關(guān)系.基本函數(shù)關(guān)系還有更深的含義，如指數(shù)函數(shù)是實數(shù)集合和正實數(shù)集合間的一一對應(yīng)關(guān)系；三角函數(shù)刻畫了周期運動的特點；三角函數(shù)中的反正切函數(shù)則把無界的實數(shù)壓縮到了有界的實數(shù)區(qū)間，即用更宏觀的觀點看待基本初等函數(shù)，可以看到更有用的結(jié)果.用關(guān)系看實數(shù)集合同樣可以得到一些更有用的結(jié)果，數(shù)學前輩們用實數(shù)集合上的運算特征去觀察更一般的元素集合，可以清楚地了解具有運算特征的群、環(huán)、域.如果用一一對應(yīng)的連續(xù)映射去看兩個集合，可以對元素構(gòu)成的集合進行拓撲分類了.實數(shù)集合給出了一種典范，在這個集合上，可以定義加減乘除代數(shù)運算及極限運算，運算的結(jié)果還是實數(shù)，所以我們說實數(shù)集合是完備的.實數(shù)集合上的每個數(shù)或者是分數(shù)或者可以用一個分數(shù)無限靠近（近似），所以我們說實數(shù)集合是可分的.實數(shù)集合上的每個數(shù)都可以用一個比它大的數(shù)及一個比它小的數(shù)來限制，所以我們說實數(shù)是局部緊的.實數(shù)集合上還有一個很好的序結(jié)構(gòu).在實數(shù)集合上獲得的很多結(jié)果，可以推廣到一些跟實數(shù)集合具有同樣特征的集合上.
可以看到實數(shù)集合上的幾個變量（基本初等函數(shù)）在認識數(shù)到實數(shù)集合再到元素構(gòu)成的集合過程中起到了重要的作用，現(xiàn)代數(shù)學是建立在集合論的基礎(chǔ)上的.數(shù)學的基礎(chǔ)就是從基本初等函數(shù)（一元函數(shù)）開始的，基本初等函數(shù)可以看作是實數(shù)域上的幾個基本變量，在此基礎(chǔ)上利用變量的數(shù)學運算（代數(shù)與非代數(shù)）可以構(gòu)造出很大一類實數(shù)域上的變量（初等函數(shù)類），這幾個變量也構(gòu)成了已知的函數(shù)關(guān)系的基本類型.一元微積分是學習處理這類變量的基本方法極限及微積分法.極限是數(shù)學最基本的工具，認識無窮和無限沒有極限這個工具我們會寸步難行，對極限的理解僅具備初等數(shù)學的知識是困難的，有了極限的知識反過來可以看到中學所學的數(shù)學內(nèi)容就不難了.極限的數(shù)學刻畫（即ε～N定義，ε～δ定義）是理解數(shù)學基本思想的基礎(chǔ)，極限的兩個特例無窮大量和無窮小量是理解極限的最好實例，如無窮大量與無窮小量的關(guān)系是反比例關(guān)系，利用極限的定義，才可以將這個關(guān)系理解和刻畫清楚.極限是刻畫變量變化趨勢的工具，當一個變量在變化過程中有趨勢時，稱之為極限.利用極限這個工具，我們可以對我們未知的無理數(shù)進行估計，對變量的運動過程進行數(shù)學刻畫，解決有限與無限這對矛盾.變量的運動趨勢分為有趨勢和無趨勢兩種，只有當變量運動有趨勢時，我們才可以進一步處理變量的運動趨勢；變量運動的無趨勢比較復雜，我們處理它的辦法還不多.微積分是一個函數(shù)的兩種特殊極限形式，導數(shù)是函數(shù)在一個點的差商的極限函數(shù)；微分用極限的觀點來看，就是在一點函數(shù)的變化與自變量變化是正比例的關(guān)系，滿足這個條件的函數(shù)成為可微的（即局部可以微小化）；積分可以看作是一個區(qū)間上某個函數(shù)微分的和，這個和就復雜了，不是有限和，也不是簡單的無限和，理解這個和需要學習無窮級數(shù).
利用函數(shù)的連續(xù)、可導（可微）、可積等特性，可以將函數(shù)進行分類，形成由函數(shù)構(gòu)成的集合.實數(shù)上所有連續(xù)函數(shù)構(gòu)成的函數(shù)類成為連續(xù)函數(shù)類；所有可導函數(shù)構(gòu)成一個函數(shù)類，也稱為光滑函數(shù)類；所有可積的函數(shù)構(gòu)成一個函數(shù)類.初等函數(shù)屬于這三個類別.常用的函數(shù)既是連續(xù)的（分段連續(xù)），又是可導和可積的.有沒有處處不連續(xù)的函數(shù)，實際上我們找一個處處連續(xù)但是處處不可導（不光滑）的函數(shù)都很難.
數(shù)學知識與數(shù)學建模
數(shù)學的學習過程往往很枯燥，從概念到概念，從定理到定理，從公式到公式，學生總會產(chǎn)生疑問，學數(shù)學到底有什么用？實際上數(shù)學認識客觀實際是理性和抽象的，數(shù)學認識客觀現(xiàn)實的過程本身就是創(chuàng)新，我們所觀察到的數(shù)都是有單位的，科學實驗是利用實驗的方法觀察一個因素（變量）的發(fā)展變化會不會引起另一個因素的變化.當我們抽象出數(shù)學公式時，我們處理的問題就抽象了，數(shù)學處理的數(shù)是沒有單位的數(shù)，建立的模型也是適合于各種變量的模型，如線性模型是一種簡單的數(shù)學模型，在解析幾何上，平面上的直線是線性模型的幾何直觀，但在社會實踐問題中線性模型具有一定的普遍性，在簡單經(jīng)濟分析中的供給與價格的關(guān)系.需求與價格的關(guān)系都可以用線性模型來模擬，而且可以建立供給與需求的均衡模式，這種均衡在經(jīng)濟學和管理科學中應(yīng)用很廣.
數(shù)學知識在建模的過程中也是隨著認識的不斷深入而不斷加深的.在經(jīng)濟學里，當我們考慮需求時，可以大致將需求分為兩大類.總需求和個人需求.我們來看個人需求，當我們簡化問題時，我們可以限制個人的需求為一種商品（當然是不對的，這樣假設(shè)可以讓我們理清思路），那么個人的需求除了技術(shù)方面的原因以外，可以看作受三個變量的影響，一個是個人的可支配收入，一個是個人需要商品的數(shù)量，第三個是這個商品的價格.為簡單起見，我們假設(shè)商品的價格不變（是一個常量），可支配收入決定了個人可能消費的最大數(shù)量，假設(shè)個人的可支配收入全部用于消費，那么我們就可以建立一個個人可支配收入與商品消費數(shù)量間的線性模型；如果個人不全部消費，那么這個人的消費可以用平面上的一個集合來表示了.我們把假設(shè)放寬，假設(shè)個人不是只消費一種商品，而且我們假設(shè)價格不變，那么我們建立的模型就是一個多元線性模型，每個人的消費集也變成了空間中的一個凸集.可見隨著限制條件的減少，數(shù)學模型將會復雜，也就是說，需要的數(shù)學知識不斷增加.
社會科學中所面對的對象的數(shù)據(jù)具有離散性的特點，即客觀現(xiàn)實的數(shù)據(jù)是通過觀察得到的，而不是像大多數(shù)自然科學的數(shù)據(jù)是通過測量得到的，這就決定了在社會科學中處理的數(shù)據(jù)大多具有離散性的特點（由于人類認識的限制，我們觀察和測量的數(shù)據(jù)都具有離散性），所以在處理數(shù)據(jù)時，我們需要將離散的數(shù)據(jù)連續(xù)化，例如需求函數(shù)，它的取值為在不同價格水平上的商品的需求量（變量的值），制成品的需求量一定是個自然數(shù)，但是為了分析和使用數(shù)學方法起見，我們還是把需求函數(shù)看作在正實數(shù)范圍內(nèi)取值的一個變量，那么處理連續(xù)和可微變量的微積分法和其他數(shù)學方法就可以使用了.數(shù)據(jù)的第二個特性是總體性和大量性，如當我們考慮某時間某區(qū)域的價格水平時，我們會發(fā)現(xiàn)，價格是一個總體的數(shù)量特征，而這個總體是由許多種商品所構(gòu)成，也就是說我們所說的價格水平是這個地區(qū)所有產(chǎn)品價格的水平的一個代表，它可能不是任何一個具體商品的價格，我們在處理數(shù)據(jù)時需要這個代表，這里就有一個采集和處理數(shù)據(jù)，獲取這個代表的問題.所以在社會科學領(lǐng)域大多數(shù)數(shù)據(jù)的獲得是依靠統(tǒng)計手段，這里就需要概率與數(shù)理統(tǒng)計的基本知識.
以上談了自己對文科數(shù)學教育的一點看法，在教學方法上我們還可以進一步進行分析，本文就不再論及，我們會在進一步的文章中分析.
【參考文獻】
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