運(yùn)用支架理論實(shí)現(xiàn)初中幾何證明簡潔化-數(shù)學(xué)論文

這是一道典型的利用中點(diǎn)構(gòu)造關(guān)于中點(diǎn)中心對稱三角形的題目。本題雖然只有簡單的兩個條件,分散在兩個三角形中,但這兩個三角形很明顯不能證全等,同學(xué)們知道要作輔助線,但以前接觸過的添輔助線的方法只有聯(lián)結(jié)、延長以及作垂線,所以本題中輔助線的添加,在學(xué)生思維區(qū)里有個不小的跳躍,學(xué)生自行探索起來非常困難。通常情況下絕大部分學(xué)生都是望而生畏。
設(shè)置支架一:動畫演示
我用幾何畫板動畫演示,把△ABD繞著點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)180°,得到△A′B′D,學(xué)生不難發(fā)現(xiàn):
①點(diǎn)B′“恰好”與點(diǎn)C相重合,旋轉(zhuǎn)后的△A′CD與△ECD能拼成一個三角形;
②△EA′C是等腰三角形,即A′C=EC;
③根據(jù)旋轉(zhuǎn)的意義可知AB=A′C,通過等量代換可以得到AB=EC。
也就是說,如果△A′CD與△ABD關(guān)于點(diǎn)D中心對稱,那么接下去的問題都容易解決。
設(shè)置支架二:構(gòu)造全等三角形
如何構(gòu)造一個三角形與△ABD關(guān)于點(diǎn)D中心對稱呢?這個問題比較抽象,我把它分成了幾個小問題。
問題1:點(diǎn)B′為什么恰好與點(diǎn)C重合?(這個問題的設(shè)計(jì)既可以解釋B′為什么恰好與點(diǎn)C重合,又可以讓學(xué)生審清題目的條件D為BC的中點(diǎn))
問題2:△ABD與△A′CD全等嗎?
問題3:不考慮旋轉(zhuǎn),要使△A′CD≌△ABD,條件夠嗎?若夠,請證明它們?nèi)?若不夠,你需要添加什么條件?
第三個問題的提出,學(xué)生的信心回來了!因?yàn)槿葘W(xué)生們一直在運(yùn)用。歸納起來,學(xué)生有三種添加的方法:①加AD=A′D②加∠1=∠A′③加∠B=∠A′CD。
下面需要的是如何引導(dǎo)學(xué)生用規(guī)范的幾何語言恰當(dāng)?shù)乇硎?
①加AD=A′D,用規(guī)范的幾何語言可描述為延長AD到點(diǎn)A′,使AD=A′D。AD可以看作是△ABC的中線,延長AD,使AD=A′D,可以歸納為“中線加倍”。
②∠1=∠A′或者∠B=∠A′CD,都可以由A′C∥AB得到,所以這種作輔助線的方法可以用幾何語言描述為:過點(diǎn)C作AB的平行線,交AD的延長線于A′。
本題的證明方法I:延長AD點(diǎn)A′,使AD=A′D,聯(lián)結(jié)A′C。
∵D為BC的中點(diǎn)(已知)∴BD=CD(中點(diǎn)的意義)
∵BD=CD(已證)∠ADB=∠A′DC(對頂角相等)AD=A′D(作圖)
∴△ABD≌△A′CD(S.A.S)
∴AB=A′C,∠1=∠A′(全等三角形的性質(zhì))
∵∠1=∠2(已知)∴∠2=∠A′(等量代換)
∴EC=A′C(等角對等邊)∴AB=EC(等量代換)
本題的證明方法II:過點(diǎn)C作AB的平行線,交AD的延長線于A′,聯(lián)結(jié)A′C。
∵AB∥A′C(作圖)∴∠1=∠A′(兩直線平行,內(nèi)錯角相等)
∵∠1=∠2(已知)∴∠2=∠A′(等量代換)
∴EC=A′C(等角對等邊)∵D為BC的中點(diǎn)(已知)
∴BD=CD(中點(diǎn)的意義)∵∠1=∠A′(已證)∠ADB=∠A′DC(對頂角相等)BD=CD(已證)
∴△ABD≌△A′CD(S.A.S)
∴AB=A′C(全等三角形的性質(zhì))
∴AB=EC(等量代換)
二、舉類似例題,便于歸納,形成模型
例2如圖,AD為△ABC的中線,BE交AC于點(diǎn)E,交AD于點(diǎn)F,且AE=EF。求證:AC=BF
輔助線添加方法I:延長AD點(diǎn)M,使AD=MD,聯(lián)結(jié)BC。
輔助線添加方法II:過點(diǎn)B作AC的平行線,交AD的延長線于M,聯(lián)結(jié)BM。
通過上述兩個例題的學(xué)習(xí),以及老師的引導(dǎo),學(xué)生可初步發(fā)現(xiàn)并總結(jié)出一些規(guī)律。
在上述例題中有一個非常特殊的點(diǎn)——中點(diǎn),我們是如何利用這個特殊點(diǎn)的?
引導(dǎo)學(xué)生歸納,如果有中點(diǎn),我們可以嘗試通過中線加倍或者添平行線構(gòu)造一個三角形關(guān)于中點(diǎn)中心對稱。
提出問題:在例1中我們首先是構(gòu)造△A′CD與△ABD關(guān)于點(diǎn)D中心對稱,你能否構(gòu)造△E′BD與△ECD關(guān)于點(diǎn)D中心對稱?例2還可以如何作輔助線呢?
如果學(xué)生已經(jīng)領(lǐng)會了解決此類問題的思路,那么一定會衍生出不同的作法。教是為了不教,教師可以適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生歸納,讓學(xué)生不自覺地觸類旁通,形成知識的建構(gòu)。
四、實(shí)踐反思
數(shù)學(xué)教學(xué)要注重過程和方法,提倡在學(xué)習(xí)過程中學(xué)生的自主活動,培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律、探求模式的能力。但是自主活動并不排斥師生之間的合作互動,有時(shí)候?qū)W生的自主探索,需要教師的激發(fā)以及及時(shí)適度的點(diǎn)撥?！爱?dāng)跳一跳蘋果夠得到時(shí),孩子才有跳起來的欲望?！彼越處煈?yīng)在學(xué)生需要幫助時(shí)提供合適的學(xué)習(xí)“支架”,讓學(xué)生有信心、有能力去探索。只有當(dāng)學(xué)生的自主性得以充分發(fā)揮,才能真正學(xué)好數(shù)學(xué)。但是學(xué)習(xí)“支架”的提供要恰到好處,而且在知識的形成過程中要根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)的實(shí)際情況逐漸拆去“支架”,并隨著學(xué)生學(xué)習(xí)能力的提高而逐漸減少“支架”。
通過本案例的教學(xué),學(xué)生不僅領(lǐng)會了作輔助線的思想,而且在突破障礙、得到結(jié)論的過程中,分析問題、解決問題的數(shù)學(xué)能力獲得提高,鉆研精神有了長足的進(jìn)步。