分段函數(shù)的求導(dǎo)方法探索——數(shù)學(xué)論文

    對(duì)于自變量的不同的取值范圍，有著不同的對(duì)應(yīng)法則，這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù)。它是一個(gè)函數(shù)，不要把它看作是幾個(gè)函數(shù)。分段函數(shù)的定義域是各段函數(shù)定義域的并集;值域也是各段函數(shù)值域的并集。所以，對(duì)于分段函數(shù)的求導(dǎo)，既要考慮它的特殊性，分段點(diǎn)處的左右表達(dá)式不一致，又要考慮它的整體性，它是一個(gè)函數(shù)。

例1：設(shè)函數(shù)求.

解法一：當(dāng)時(shí)，,=3；

當(dāng)時(shí)，=3；

所以，=3.

解法二：當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；

不存在.

解法三：；

；

所以不存在.

    分析:解法一利用導(dǎo)數(shù)公式求左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)，簡(jiǎn)單快捷，若某點(diǎn)處的左導(dǎo)數(shù)等于右導(dǎo)數(shù)，則這點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)存在，但忽略了導(dǎo)數(shù)存在的前提是函數(shù)在該點(diǎn)處連續(xù)，這是一類常見(jiàn)的錯(cuò)誤.解法二首先判斷函數(shù)在該點(diǎn)處是否連續(xù)，因?yàn)檫B續(xù)是可導(dǎo)的必要條件，不連續(xù)肯定不可導(dǎo)，所以解法二簡(jiǎn)單正確.解法三從左右導(dǎo)數(shù)的定義出發(fā)，分別求出左右導(dǎo)數(shù)，因?yàn)樽髮?dǎo)數(shù)不等于右導(dǎo)數(shù)，所以該點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)不存在,解法三也正確.

    函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，反映了函數(shù)相對(duì)于自變量的變化率，這個(gè)變化率是由函數(shù)與自變量的對(duì)應(yīng)法則決定的.對(duì)于初等函數(shù)，這種依賴關(guān)系是用一個(gè)數(shù)學(xué)式子給出的，所以求導(dǎo)數(shù)可按照初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則來(lái)求，而分段函數(shù)的分段點(diǎn)處附近表示函數(shù)與自變量對(duì)應(yīng)法則的數(shù)學(xué)式子不是一個(gè)，不能應(yīng)用導(dǎo)數(shù)公式、法則來(lái)求分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，除非函數(shù)在分段點(diǎn)處連續(xù)，因此要么直接用導(dǎo)數(shù)的定義及左、右導(dǎo)數(shù)來(lái)確定分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是否存在且相等，要么先判斷分段點(diǎn)處是否連續(xù)再利用導(dǎo)數(shù)公式求左右導(dǎo)數(shù).

例2：設(shè)函數(shù)，求.

解法一：時(shí)，，所以=.

解法二：，=.

所以在處不連續(xù)，

所以在處不可導(dǎo)。

解法三：.

因?yàn)楹瘮?shù)在處的左導(dǎo)數(shù)不存在，所以函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)不存在.

    分析:解法一中，雖然和的表達(dá)式一樣，但仍需要考慮分段點(diǎn)處是否連續(xù)的問(wèn)題，因?yàn)檫@點(diǎn)可能是跳躍間斷點(diǎn)，所以解法一錯(cuò)誤.連續(xù)是可導(dǎo)的必要條件，一定要在用導(dǎo)數(shù)公式之前先驗(yàn)證分段點(diǎn)處的連續(xù)性.解法二利用連續(xù)與可導(dǎo)的關(guān)系先判斷函數(shù)在分段點(diǎn)處是否連續(xù)，把握住連續(xù)的定義，左右極限相等但不等于該點(diǎn)處函數(shù)值，所以函數(shù)在分段點(diǎn)處不連續(xù)，所以函數(shù)在分段點(diǎn)處不可導(dǎo)，簡(jiǎn)潔明了.解法三利用導(dǎo)數(shù)的定義先求左導(dǎo)數(shù)，左導(dǎo)數(shù)不存在就沒(méi)有必要再求右導(dǎo)數(shù)了，解法三也一目了然.

例3：設(shè)函數(shù)，求.

解法一：=)’=2+=(2 -)，因?yàn)樵谔幋耸綗o(wú)意義，

所以不存在

解法二：，=；

所以在處連續(xù)；

==；

所以.

解法三：==0；

所以.

    分析:解法一犯了兩個(gè)錯(cuò)誤，既沒(méi)有考慮連續(xù)，又用錯(cuò)了導(dǎo)數(shù)積的求導(dǎo)法則，沒(méi)有考慮前提條件必須是乘積的兩部分都可導(dǎo)才能利用求導(dǎo)法則，而且僅在時(shí)求得的’()，不能用它在處無(wú)意義就去判定函數(shù)在處不可導(dǎo).解法二利用連續(xù)與可導(dǎo)的關(guān)系先判斷函數(shù)在分段點(diǎn)處是否連續(xù)，在連續(xù)的前提下進(jìn)一步再求在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，此時(shí)發(fā)現(xiàn)利用導(dǎo)數(shù)公式并不是那么簡(jiǎn)單的，而且也不能把直接代入，所以結(jié)果錯(cuò)誤.解法三利用導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)數(shù)，利用無(wú)窮小量的性質(zhì)，結(jié)果很容易得出，簡(jiǎn)潔正確.所以在平時(shí)做題時(shí)不要故意避開(kāi)利用定義求導(dǎo)數(shù)，在此例題中這種方法還是最簡(jiǎn)單最行之有效的方法。

例4：設(shè)函數(shù) ,求.

解法一：’()=)’=+=( -)=0

所以.

解法二：，=

所以在處連續(xù)

==0

所以.

解法三：==0

所以.

    分析:解法一同樣又沒(méi)有考慮連續(xù)，導(dǎo)數(shù)積的求導(dǎo)法則也應(yīng)用錯(cuò)誤，結(jié)果正確但過(guò)程錯(cuò)誤.解法二利用連續(xù)與可導(dǎo)的關(guān)系先判斷函數(shù)在分段點(diǎn)處是否連續(xù)，在連續(xù)的前提下進(jìn)一步再求在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，此時(shí)利用導(dǎo)數(shù)公式不是那么得心應(yīng)手了，而且也不能直接代入，結(jié)果正確但過(guò)程錯(cuò)誤.解法三利用導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)數(shù)，過(guò)程簡(jiǎn)單，一目了然.

    通過(guò)以上四個(gè)典型的例題分析了分段函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的問(wèn)題，我們可以總結(jié)出求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，首先應(yīng)該考慮函數(shù)在分段點(diǎn)處是否連續(xù)，若連續(xù)再求左右導(dǎo)數(shù)，判斷左右導(dǎo)數(shù)是否相等，若不連續(xù)，直接得出結(jié)論就可以了.當(dāng)然也可以直接利用導(dǎo)數(shù)的定義求分段點(diǎn)處的左右導(dǎo)數(shù).分析問(wèn)題時(shí)要從其本質(zhì)入手，找到最核心的部分，從而解決這個(gè)問(wèn)題.