針對工科生講授量子力學(xué)基本原理時可采用的一種類比方法

一、導(dǎo)言

    量子力學(xué)是物理學(xué)的一門分支學(xué)科，它也是現(xiàn)代諸多科學(xué)技術(shù)（如激光技術(shù)、微電子技術(shù)、新材料技術(shù)、新能源技術(shù)等）的理論基礎(chǔ)，它為諸多現(xiàn)代工程技術(shù)的產(chǎn)生和發(fā)展提供了堅實的基礎(chǔ)。正因為量子力學(xué)的基礎(chǔ)性意義，許多工科專業(yè)的大學(xué)生需要學(xué)習(xí)了解一定的量子力學(xué)基本原理。由于學(xué)時的限制，很多工科專業(yè)不可能開設(shè)專門的量子力學(xué)課程，同時相關(guān)工科專業(yè)的學(xué)生也只需要對量子力學(xué)的基本原理有一定基礎(chǔ)性了解即可，不需要具備完整的量子力學(xué)知識體系，所以在很多工科專業(yè)中，量子力學(xué)基本知識的介紹是在一些專業(yè)課程中適當(dāng)摻入，或者是在大學(xué)物理課程的最后部分涉及。量子力學(xué)畢竟是一門理論深度很強的學(xué)科，很多概念和原理非常的抽象、新穎，與經(jīng)典物理的知識相比具有很大的差異，學(xué)生（尤其是非物理學(xué)專業(yè)的工科學(xué)生）學(xué)習(xí)起來具有很大的難度。我們在對工科學(xué)生講授量子力學(xué)知識的過程中積累了一定的經(jīng)驗，總結(jié)出了一些較為有利于學(xué)生學(xué)習(xí)理解的講授方法，本篇論文即對這些方法進行敘述。

二、量子力學(xué)公設(shè)

整個量子力學(xué)的數(shù)學(xué)理論建立在五個公設(shè)之上。這五個公設(shè)是從實驗結(jié)果分析提煉而得到的，不能被嚴(yán)格推導(dǎo)出來的，但是與所有的實驗結(jié)果相符合，被認(rèn)為是正確可信的。這五個公設(shè)分別是：

1. 態(tài)矢量公設(shè)（或波函數(shù)公設(shè)）。

2. 可觀測量與算符公設(shè)。

3. 測量公設(shè)。

4. 動力學(xué)演化公設(shè)（或薛定諤方程公設(shè)）。

5. 全同性原理公設(shè)。

這個五個公設(shè)里涉及的概念，如態(tài)矢量、算符、本征值等等，都非常的抽象。學(xué)生在接觸這些概念時很難理解它們，因而更難進一步理解這些公設(shè)。我們曾多次向工科學(xué)生講解過量子力學(xué)的基本原理，為了讓學(xué)生較快地理解這些公設(shè)，我們通過一些類比的方法，把量子力學(xué)公設(shè)的含義與一些他們已經(jīng)具備的、較為直觀的知識聯(lián)系起來，從而讓他們可以較快較好地理解量子力學(xué)的公設(shè)。具體來說，我們把平面幾何中的向量及有關(guān)性質(zhì)、線性代數(shù)中的矩陣及有關(guān)性質(zhì)，拿過來與公設(shè)中的相關(guān)概念和性質(zhì)進行類比，從而讓學(xué)生很好地理解公設(shè)。下面我們就此方法重點對前三條公設(shè)進行詳細(xì)闡述。

（一）態(tài)矢量公設(shè)（或波函數(shù)公設(shè)）

這條公設(shè)的內(nèi)容是：“一個量子系統(tǒng)在任意時刻的狀態(tài)（量子態(tài)）可以由希爾伯特空間中的態(tài)矢量來設(shè)定。這個態(tài)矢量完備地給出了這個量子系統(tǒng)的所有信息。”

態(tài)矢量是一個什么東西？希爾伯特空間是一個什么東西？學(xué)生在一開始肯定不理解。但我們可以向?qū)W生這樣講解：態(tài)矢量類似于二維幾何平面中的一個矢（向）量（也可以說類似于一個三維立體中的一個矢量，或者是n維線性空間中的一個矢量，為了方便我們以二維幾何平面中的矢量為例。），希爾伯特空間就類似于這個二維幾何平面。它們之間有不同的地方，但也有相同的地方。我們可以對幾何矢量和態(tài)矢量所共有的可分解性進行闡述。

在圖1（a）中，是二維幾何平面中的任意一個矢量，對這個矢量可以進行正交分解，比如把A矢量在相互正交的X方向和Y方向進行正交分解，數(shù)學(xué)上可以表示為：

，  （1）

和是X、Y方向上的單位矢量，、是A矢量向x、y兩個方向分別投影所得的倍數(shù)。簡而言之，任意幾何矢量都可以分解為一些基本矢量的疊加。這些知識是學(xué)生們已經(jīng)具備的非常簡單的知識。量子力學(xué)中態(tài)矢量也具有相似的可分解性（或者說是疊加性），在數(shù)學(xué)上可以表示為：

   ， （2）

是某一個態(tài)矢量與圖1中的矢量類似。就是一組相互正交的單位矢量集，類似于i和j，只是的個數(shù)可能會是無窮多個。就相當(dāng)于、，它是向單位矢量投影所得的倍數(shù)。是二維平面空間中的一個矢量，也是一個空間中的矢量，這個空間就是具有無限維數(shù)的希爾伯特空間。

通過這樣比較形象的類比描述，雖然不能讓學(xué)生完全地了解態(tài)矢量和希爾伯特空間，但是肯等可以讓他們對兩者有了一點初步的印象，不至于一點不懂，這樣就可以為后續(xù)的繼續(xù)學(xué)習(xí)了解打下基礎(chǔ)。當(dāng)然后面也需要繼續(xù)采用這種類比講解的方法。

圖（1）幾何矢量的正交分解

態(tài)矢量的分解不唯一，和所選擇的表象有關(guān)系。這樣的性質(zhì)也可以用幾何矢量的性質(zhì)進行類比說明。比如圖1(b)中的矢量也可以對其進行另外一種形式的正交分解，如圖2所示。數(shù)學(xué)上可以表示為：

（3）

這里、是另外一組正交的兩個方向的單位矢量。、是對應(yīng)的系數(shù)。所以同一個矢量可以具有不同的分解形式。我們還可以找到不同于圖1和圖2的另外的分解形式。量子力學(xué)中態(tài)矢量分解形式的不唯一性，在數(shù)學(xué)上可以表示為：

（4）

就是另一組單位矢量集，類似于、。就相當(dāng)于、 。

公式（2）和（4）所描述的態(tài)矢量的分解，都屬于離散分解?？梢栽龠M一步向?qū)W生講述，態(tài)矢量的分解也可能為連續(xù)分解。數(shù)學(xué)上可以寫為：

 （5）

這時的系數(shù)和變成了隨x和k而變化的連續(xù)函數(shù)?？梢愿鶕?jù)情況向?qū)W生講述，上面的兩種連續(xù)分解可以理解為分屬于態(tài)矢量在坐標(biāo)表象的分解和在動量表象的分解。兩次分解所得到的系數(shù)函數(shù)就分別是坐標(biāo)表象的波函數(shù)和動量表象的波函數(shù)。

（二）可觀測量與算符公設(shè)

該公設(shè)的內(nèi)容是：“可觀測量是可以被觀測的物理量。每個可觀測量X都有其對應(yīng)的厄米算符，而算符的所有本征矢量共同組成一個完備基底?！?/p>

這條公設(shè)里所說的可觀測量X可以是位置、動量等。公設(shè)里所說的厄米算符、算符的本征矢量、完備基底這三個概念及它們之間的關(guān)系，可以利用線性代數(shù)中矩陣的有關(guān)知識進行類比講解。

例如一個矩陣，它有兩個正交歸一的特征向量和，特征值分別為2和4，即

（6）

兩個特征向量和是正交的，即=0. 

此時任意一個二維向量都可以用和展開，例如：

（7）

在量子力學(xué)里的可觀測量X所對應(yīng)的厄米算符與其本征矢量之間的關(guān)系可以表示為：

（8）

表示算符的本征矢量，是相應(yīng)的本征值。所以本征矢量是比較特殊的一類態(tài)矢量，算符作用于本征矢量時，所得的結(jié)果就是本征值與本征矢量的乘積。

可以將式（6）與（8）對比理解。算符與矩陣A對應(yīng)，本征矢量與特征向量和相對應(yīng)。本征值與特征值2和4相對應(yīng)。本征矢量之間是相互正交的，即，與特征向量之間的關(guān)系相似。

所有本征矢量組成一個完備基底，意味著任意一個態(tài)矢量都可以展開為本征矢量的疊加。即

     （9）

是任意一個態(tài)矢量，與式（7）中的向量、相類似。態(tài)矢量以公式（9）的形式展開與公式（2）的展開完全一致。公式（2）的出現(xiàn)在本質(zhì)上就是由這里的公設(shè)所決定的，只是為了在一開始便于對公設(shè)一進行解釋，而事先引用了。此時可以把前后聯(lián)系起來向?qū)W生講解一下。在解釋公設(shè)一還提到的態(tài)矢量分解形式不唯一，此時就可以把這種分解形式的不唯一，理解為可以換用另外一個可觀測量所對應(yīng)的算符的本征矢量對態(tài)矢量進行分解。

從公式（7）和（9）中也可以看出，特征向量屬于向量，只不過是特殊一類的向量；本征矢量也屬于態(tài)矢量，是特殊一類的態(tài)矢量。

（三） 測量公設(shè)

這個公設(shè)的內(nèi)容是：“對一個物理系統(tǒng)就某個可觀測量進行測量時，測量的結(jié)果就是相應(yīng)的可觀測量所對應(yīng)的算符的本征值之一，測量后系統(tǒng)的態(tài)矢量就是那個本征值所對應(yīng)的本征矢量?！?nbsp;

針對于這個公設(shè)，我們可以做這樣的形象理解。假設(shè)原先系統(tǒng)的態(tài)矢量為，我們準(zhǔn)備對系統(tǒng)就某一個可觀測量X進行測量，這個可觀測量所對應(yīng)的厄米算符為，測量過程就可以理解為算符作用于態(tài)矢量，系統(tǒng)的態(tài)矢量可能就是的某一個本征矢量，那么測量過程就如公式（8）所示，測量所得的結(jié)果就是相應(yīng)的本征值，測量后系統(tǒng)的態(tài)矢量還是這個本征矢量。但是測量前系統(tǒng)的態(tài)矢量可能是由若干個本征矢量疊加而成的疊加態(tài)，即，那么測量后，系統(tǒng)的狀態(tài)就不在是這個疊加態(tài)，而是概率性地塌縮為某個本征矢量，這個概率的大小就是，測量所得的結(jié)果就是這某個本征矢量所對應(yīng)的本征值，之后系統(tǒng)的態(tài)矢量就變?yōu)榱?，不再處于原先的疊加態(tài)。

對量子系統(tǒng)進行測量時，如果系統(tǒng)處于疊加態(tài)時，測量結(jié)果具有概率性、隨機性，測量前不可能準(zhǔn)確預(yù)言出測量結(jié)果。這與經(jīng)典決定論是矛盾的，學(xué)生在理解這個問題時會有很大的困惑。不過這個作為公設(shè)只需強調(diào)其內(nèi)容的客觀性，讓學(xué)生們先直接接受這些內(nèi)容，然后再引入測量的期望值概念。量子態(tài)處于疊加態(tài)時，測量前不能確定性知道測量結(jié)果，只能知道會出現(xiàn)某一個本征值結(jié)果的概率。為了對測量結(jié)果給出一定的描述，可以把每一種可能的測量結(jié)果值按概率進行加權(quán)求和，這樣就得到了可觀測量的期望值。這個期望值的大小應(yīng)為。期望值的數(shù)學(xué)符號為。這一數(shù)學(xué)符號的含義是：

三、結(jié)束語

    通過類比講解的方法，我們可以使學(xué)生比較清楚地理解掌握量子力學(xué)公設(shè)一、公設(shè)二以及公設(shè)三的含義。相比較而言，公設(shè)四和公設(shè)五不太容易通過類比講解的方法向?qū)W生講授。但學(xué)生在理解掌握了前三個公設(shè)后，學(xué)習(xí)公設(shè)四和公設(shè)五也相對變得容易。所以類比講解的方法可以對學(xué)生學(xué)習(xí)理解量子力學(xué)基本原理起到很好的促進作用，這種類比方法值得授課老師采用。

參考文獻：

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