一種新的自適應MCMC方法在金融市場風險VaR計算中的應用
1前言
伴隨著經(jīng)濟和金融全球化的進程不斷加快,金融環(huán)境和金融市場也發(fā)生了重大的變化,金融工具所蘊含的風險結(jié)構(gòu)日益復雜。金融機構(gòu)的這些危機也使監(jiān)管當局頻頻出臺新的政策,對風險管理提出了嚴格的要求。風險價值(Value-at-Risk,縮寫VaR)理論正是在這個背景下產(chǎn)生的一種描述不同市場風險的度量方法。和傳統(tǒng)的衡量風險的方式不同,VaR提供了綜合分析投資組合的方法,即通過綜合杠桿、相關(guān)性和目前頭寸等因素得出結(jié)論。因其具有的前瞻性,VaR方法不僅適用于金融衍生品,也適用于其他金融工具,可從衡量市場風險擴展到衡量其他任何類型的金融風險[1]。
目前,對VaR的應用研究大多基于經(jīng)典統(tǒng)計學推斷,如常用的矩估計、極大似然法等,它們的主要缺點是計算結(jié)果的可靠性會受VaR低頻高損的風險特點的影響[2]。針對現(xiàn)有VaR計算中主流方法的缺陷,本文提出了一種新的馬爾科夫鏈蒙特卡羅方法——自適應Metropolis抽樣方法,以我國股票市場投資風險的VaR模型為例,基于上證綜合指數(shù)的變化,將自適應Metropolis方法應用于整個滬市大盤VaR的計算,并與傳統(tǒng)的MCMC模擬結(jié)果比較,以考察自適應Metropolis方法在求解VaR時的優(yōu)劣。
2 VaR模型介紹
2.1 VaR的定義
VaR是度量有價證券潛在金融風險的一種基本方法,其核心在于構(gòu)造證券組合價值的概率分布。VaR的基本思想是利用資產(chǎn)收益率的歷史信息來推斷將來的情形,并用一個概率分布,而非一個確定的值,對未來價值波動的給出推斷[3]。VaR可定義為,在一定持有期內(nèi),在一定的統(tǒng)計置信區(qū)間內(nèi),某一金融資產(chǎn)或證券組合所面臨的最大潛在損失[4]。用數(shù)學公式表示:
(1)
其中,為在持有期內(nèi)某一資產(chǎn)(或資產(chǎn)組合)的市值變化,則表示給定的置信水平。更具體地說,就是在一定的市場條件下,對某一有價證券,對給定的時間區(qū)間和置信水平,VaR給出了該有價證券最大可能的預期損失。例如,某機構(gòu)每天交易的有價證券在95%置信水平下,日VaR值為2000萬美元,其含義是,在正常市場條件下,今后24小時內(nèi)發(fā)生大于2000萬美元虧損的概率只有5%,指出了該機構(gòu)面對的市場風險以及出現(xiàn)不利情況的概率[4][5]。
2.2 VaR的計算方法
假設(shè)為初始投資金額,作為資產(chǎn)(資產(chǎn)組合)在持有期內(nèi)隨機的收益率,同時假設(shè)頭寸是不變的,則該投資組合價值在時間期滿時為??煽醋魇且粋€隨機變量,其年度均值為,方差為。投資組合在某一給定置信水平下的最低回報率為,則在該置信水平下的最低價值。那么VaR可表示為公式:
(2)
由上式可見,如果已知某置信水平下的和,就可以求出某投資組合在該特定置信水平下的VaR值。也可以說,持有期的長短、置信區(qū)間的大小和未來資產(chǎn)組合價值的分布特征是計算VaR值的三大要素。持有期即計算價格變動的時間間隔,持有期的選擇需權(quán)衡諸多因素,通常持有期越長,預期的價格變化就越大,計算結(jié)果的風險也越大。置信度的選擇則反映了投資者的風險偏好以及從事交易的謹慎程度。通常,金融機構(gòu)采用的置信區(qū)間是90%-99%的范圍。
在VaR計算過程中,存在的一個主要難點是證券(投資)組合的價值函數(shù)往往與市場因子呈非線性關(guān)系,而且市場因子的分布也往往不滿足正態(tài)分布。目前計算VaR的主要方法包括歷史模擬方法(Historical Simulation)、分析方法(方差-協(xié)方差方法)(Variance-covariance method)以及蒙特卡羅模擬方法(Monte Carlo Simulation)。歷史模擬方法是一種非參數(shù)方法,對金融資產(chǎn)的回報不需要作分布上的假定,困難之處在于該方法要求大量的歷史數(shù)據(jù),計算量較大,原因在于必須對證券組合中每一個金融工具進行估價 [6]。分析方法是一種利用證券(投資)組合的價值函數(shù)與市場因子間的近似關(guān)系、市場因子的統(tǒng)計分布來簡化計算方法,其優(yōu)點是簡化了VaR的計算,但要求市場因子必須服從正態(tài)分布、價值函數(shù)非線性程度低,而現(xiàn)實中往往無法滿足這兩個假定。為了克服分析方法在處理非線性證券組合時的缺陷,蒙特卡羅模擬法逐漸成為近年來學術(shù)界研究VaR計算的主流方法,但其本身也存在計算效率較低以及維數(shù)高、靜態(tài)性兩個重要缺陷。傳統(tǒng)的蒙特卡羅模擬方法難于從高維的概率分布函數(shù)中抽樣[3]。此外,經(jīng)濟問題中的變量都具有時變性,而蒙特卡羅模擬法采用抽樣方法產(chǎn)生隨機序列,均值和協(xié)方差矩陣不變,用靜態(tài)的方法處理時變變量時難免會產(chǎn)生一定的偏差。為此,王春峰等(2010)[7]提出了一種基于MCMC模擬的VaR計算方法,提高了估算精度,較好地克服了傳統(tǒng)蒙特卡羅法的高維、靜態(tài)的缺陷,其關(guān)鍵之處是運用MCMC方法估計分布的參數(shù),即均值向量和協(xié)方差矩陣。
3 自適應Metropolis方法
MCMC方法是一種有效工具,適用于復雜統(tǒng)計模型的貝葉斯計算,它能將一些復雜的高維問題轉(zhuǎn)化為系列簡單的低維問題。MCMC方法基于貝葉斯理論框架,通過建立平衡分布為的馬爾可夫鏈,并對其平衡分布進行采樣,不斷更新樣本信息,使馬爾可夫鏈能充分搜索模型參數(shù)空間,并最終收斂于高概率密度區(qū)。因此,MCMC方法是對理想的貝葉斯推斷過程的一種近似。
MCMC方法的關(guān)鍵在于構(gòu)造有效的推薦分布,確保按照推薦分布抽取的樣本收斂于高概率密度區(qū)。推薦分布的構(gòu)造不同,導致的MCMC方法也不同。Gibbs采樣方法[8-9]和Metropolis-Hastings[10]方法是目前在貝葉斯分析中應用最為廣泛的MCMC方法,關(guān)鍵是確定參數(shù)的推薦分布和參數(shù)相關(guān)性的處理。由于參數(shù)先驗信息較少,對于復雜模型來說,算法推薦分布的選擇存在較大的不確性,導致參數(shù)最大后驗概率密度區(qū)的推求非常困難,算法收斂速度十分緩慢。本文在前人的研究基礎(chǔ)上,針對傳統(tǒng)MCMC模擬方法存在的計算效率低的缺陷,提出了一種基于自適應Metropolis抽樣的VaR計算方法。
3.1 自適應Metropolis抽樣原理
針對常用MCMC抽樣方法存在的搜索速度緩慢的問題,Haario等(2001)提出一種自適應的Metropolis算法。相比傳統(tǒng)的Metropolis-Hastings算法,自適應Metropolis不再需要預先確定參數(shù)的推薦分布,而是由后驗參數(shù)的協(xié)方差矩陣來進行估算。后驗參數(shù)的協(xié)方差矩陣在每一次迭代過程后能自適應調(diào)整。第步參數(shù)的推薦分布定義為均值為,協(xié)方差為的多元正態(tài)分布形式,協(xié)方差矩陣計算定義如式(3)所示。
(3)
上式中:為初始協(xié)方差,在初始采樣次數(shù)時,為克服算法初始階段采樣不穩(wěn)定的影響,協(xié)方差取固定值;為一個較小的常數(shù),以確保不成為奇異矩陣;為比例因子,依賴于參數(shù)的空間維度d,建議[10];為d維單位矩陣。
第次迭代時,協(xié)方差計算公式可由式(4)推得:
(4)
式中:為前次迭代參數(shù)的均值;為前次迭代參數(shù)的均值。
自適應Metropolis的關(guān)鍵問題首先是定義第步參數(shù)的推薦分布,其次是定義接受概率,用于判斷是否接受新產(chǎn)生的子本。AM算法的優(yōu)勢在于推薦分布隨計算過程自動更新,不再需要事先指定。與傳統(tǒng)M-H算法相比,參數(shù)同時更新,不再需要分組更新,大大減少了計算量。
(5)
自適應Metropolis的搜索遵循如下流程 [11]:
(1) 初始化,;
(2) 狀態(tài)隨機產(chǎn)生和接受;
(a) 根據(jù)公式(3)計算;
(b) 產(chǎn)生候補樣本;
(c) 根據(jù)公式(5)計算接受概率;
(d) 產(chǎn)生隨機數(shù);
(e) 若接受,否則;
(3) 重復(a)-(e)直到產(chǎn)生足夠的樣本為止。
3.2 算法收斂準則
自適應Metropolis算法應用上的一個關(guān)鍵是判斷采樣序列是否收斂到參數(shù)后驗分布。理論上,一個各向同性的采樣器在時必將收斂,但在實際應用中,我們必須確定算法收斂于穩(wěn)定的后驗分布所需要進行的采樣次數(shù)。Gelman和Rubin在1992年提出了一種定量收斂判斷指標對計算終止進行判斷,稱為比例縮小系數(shù),計算基于每條馬爾可夫鏈的方差,如式(6)所示。當采樣序列的比例縮小系數(shù)接近1.2時,判斷算法收斂于穩(wěn)定的后驗分布。
(6)
4 案例研究
4.1 數(shù)據(jù)
下面以我國股票市場投資風險的VaR模型為例,基于上證綜合指數(shù)的變化,將自適應Metropolis方法應用于整個滬市大盤VaR的計算,以考察自適應Metropolis方法在求解VaR時的優(yōu)劣。采用的樣本數(shù)據(jù)是上證綜合指數(shù)每日收盤價,樣本區(qū)間從2005年1月4日至2009年12月31日的(時間以交易日為準),共計1215個樣本,樣本數(shù)據(jù)近似服從多元正態(tài)分布。定義某一時間的收益率公式為,其中為上證綜合指數(shù)在時刻的價格。
4.2 結(jié)果與討論
根據(jù)樣本歷史數(shù)據(jù),運用自適應Metropolis方法估計分布的參數(shù),即均值向量和協(xié)方差矩陣。根據(jù)參數(shù)模擬市場因子未來變化的情景,計算投資組合未來的潛在損益,最終得出給定置信水平下的VaR值。自適應Metropolis算法的參數(shù)設(shè)置:初始樣本數(shù)為2000,馬爾可夫鏈為2條,馬爾可夫鏈長為20,計算次數(shù)為20000。舍棄每次采集樣本前500個以消除初始化階段的影響,具體模型計算過程通過Matlab語言實現(xiàn)。
將自適應Metropolis方法抽樣所得的樣本進行分析,可得參數(shù)和的基本統(tǒng)計性質(zhì)。這兩個參數(shù)的均值分別是0.213和0.017,方差為0.664和0.004,中值為0.218和0.018。概率2.5%時兩參數(shù)值分別為0.196和0.0153,而概率為97.5%時為0.291和0.021。接著,將參數(shù)估值代入公式(2),可求得各置信水平下的VaR值,對比分析由自適應Metropolis算法、Gibbs抽樣方法及極大似然方法估算所得的VaR值,可得結(jié)果:
1)置信水平和VaR值成正關(guān),即置信水平越高,VaR值也就越大,這體現(xiàn)了投資者對風險的不同偏好。對風險厭惡型的投資者來說,在量化風險時為了降低投資風險,需要較高的置信水平,以便更加準確地鎖定風險;而風險喜好型的投資者承受風險的能力比較大,在計算風險時可設(shè)置相對低的置信水平。如:置信水平在90%時,自適應Metropolis方法、Gibbs抽樣方法、極大似然方法的VaR值分別是2.573,2.406和2.316,而置信水平為95%時,分別為2.926,2.917和2.904;99%時的數(shù)值為3.206,3.125和3.408。
2)基于自適應Metropolis方法和Gibbs抽樣方法的各置信水平下的VaR值要大于傳統(tǒng)的極大似然方法,這是由于自適應Metropolis方法和Gibbs抽樣方法把分布的參數(shù)看作了隨機變量,實際上增加了上證綜合指數(shù)收益率分布的不確定性,因此,計算出的金融風險值一般大于把參數(shù)看作固定值時的風險值。
3)根據(jù)算法收斂判斷準則,自適應Metropolis方法達到收斂需要的模型運算次數(shù)為2890,而Gibbs抽樣方法需要進行6540次的迭代,自適應Metropolis的收斂效果優(yōu)于傳統(tǒng)的Gibbs抽樣方法。
4)根據(jù)算法運算時間看,自適應Metropolis方法的運算時間為77s,而Gibbs抽樣方法需要185s的運算時間,前者的搜索性能要優(yōu)于后者,究其原因,主要是自適應Metropolis方法的協(xié)方差矩陣隨著抽樣過程能自適應的調(diào)整,確保馬爾科夫鏈朝著最高后驗概率密度區(qū)進化,最終收斂于一個平穩(wěn)的目標分布。
5 結(jié)論
本文針對傳統(tǒng)MCMC方法計算VaR值時存在的缺陷,提出了一種自適應Metropolis抽樣方法。以我國股票市場投資風險的VaR模型為例,基于上證綜合指數(shù)的變化,將自適應Metropolis方法應用于整個滬市大盤VaR的計算,分析了新方法在推求模型參數(shù)后驗分布的搜索性能和效率,計算結(jié)果表明,自適應Metropolis抽樣方法能有效確保參數(shù)推薦分布向目標后驗概率分布演化,且參數(shù)推薦分布在計算過程中自動更新,其整體計算效率和解的精度要明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的MCMC算法,是求解股票市場的不同置信水平VaR值的高效方法。此外,將這種比較新的模擬方法應用到金融領(lǐng)域中,克服了基于經(jīng)典統(tǒng)計學推斷估計VaR不準確的缺陷。
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