注重培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維—提高解題能力-數(shù)學(xué)教學(xué)論文

摘要： 教學(xué)實(shí)踐表明，課堂例題教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維，提高解題能力的一種十分有效的教學(xué)形式，本文結(jié)合典型數(shù)學(xué)例題的變式教學(xué)及一題多解的解題過程，闡述了如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，提高解題能力。

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)思維  解題能力

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)離不開解題的教學(xué)，解題不僅僅是鞏固知識，掌握解題方法，更重要的是訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維的極好方式。在我們的教學(xué)中，對待解題采取不同的態(tài)度和不同的方法，其效果是大不相同的。

現(xiàn)在，有不少中學(xué)數(shù)學(xué)教師在高考的壓力下，收集各種題目搞“題海戰(zhàn)術(shù)”；大運(yùn)動量練習(xí)，以為這樣就能使學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)，其實(shí)這樣做并不能真正教會學(xué)生解題。因?yàn)檫@些題目是“魚”而不是“漁”，老師是向?qū)W生“售魚”而非“授漁”。

新《課標(biāo)》提出了中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)新的理念，其中重要的一條就是要把向?qū)W生“售魚”改變?yōu)椤笆跐O”。為此我們又應(yīng)如何去做呢？下面結(jié)合本人在解題過程中的教學(xué)實(shí)踐，談幾點(diǎn)看法。

一、改變傳統(tǒng)的教學(xué)觀念

教師對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和解題，要改變灌輸和強(qiáng)迫的做法，倡導(dǎo)積極主動，勇于探索的學(xué)習(xí)方式，要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主探索，動手實(shí)踐，合作交流，閱讀和自學(xué)，使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中成為“再創(chuàng)造”的過程，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，體驗(yàn)成功的樂趣。

二、要注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力

數(shù)學(xué)思維是經(jīng)歷直觀感知，觀察發(fā)現(xiàn)，歸納類比，空間想象，抽象概括，符號表示，運(yùn)算求解，數(shù)據(jù)處理，演驛證明，反思與建構(gòu)的思維過程。為此在解題教學(xué)中，老師應(yīng)從不同的角度，用不同的知識采用不同的思考方法，一題多解，通過比較、分析、啟迪思維尋求更巧妙的解法，從而培養(yǎng)思維的靈活性，深刻性，廣闊性，提高數(shù)學(xué)思維能力。解題過程是培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力的過程，要求學(xué)生做到以下幾點(diǎn)：

1、要正確理解數(shù)學(xué)概念，熟練掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識；

2、要進(jìn)行基礎(chǔ)應(yīng)用的快速練習(xí)，形成基本技能；

3、要強(qiáng)化推理形式的規(guī)范化的培養(yǎng)和訓(xùn)練，使學(xué)生養(yǎng)成理論指導(dǎo)推理的習(xí)慣，避免機(jī)械套用數(shù)學(xué)公式；

4、要及時做到解后“三思”：“一思”解題思路和策略是否可取；“二思”解題過程和方法是否最佳；“三思”如何變換題目的條件和結(jié)論，以領(lǐng)悟其中的解題方法和規(guī)律，這是關(guān)鍵一點(diǎn)。

通過解題培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，就要選編典型問題，要求老師遵循以下原則。

a)        對課本上的典型例習(xí)題挖掘引申

例習(xí)題教學(xué)應(yīng)使學(xué)生得到一個完整的知識結(jié)構(gòu)，使學(xué)生全面地認(rèn)識理解要掌握的內(nèi)容，并學(xué)會從不同角度運(yùn)用不同方法去思考，探究問題，研究其內(nèi)涵與解法，充分“挖潛”研究，通過改變題目的條件或結(jié)論變更問題，從而引發(fā)或衍生出若干個問題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)鼓勵學(xué)生探索研究，通過探求過程學(xué)會進(jìn)行創(chuàng)造性思維的有效方法，達(dá)到提高學(xué)生發(fā)散思維能力的目的。

例如在解“直線與拋物線的位置關(guān)系”例題時，可讓學(xué)生參與以下變換探求。

例：過拋物線y²=2px的焦點(diǎn)的一條直線和這條拋物線相交，兩個交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y₁,y₂。求證： y₁y₂=-p²  在學(xué)生做過后，引導(dǎo)學(xué)生在題設(shè)條件不變情況下，將結(jié)論進(jìn)行相似拓展。

變題１：條件同上題，若兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x₁，x₂。 求證：x₁x₂=p²/4

指導(dǎo)學(xué)生證明后，進(jìn)一步由特殊到一般，將“過焦點(diǎn)”推及到對稱軸上任一點(diǎn)，使問題得以引申。

變題2：設(shè)M(a,0)是拋物線y²=2px對稱軸上任一點(diǎn)過M的直線交拋物線于Ａ、Ｂ，縱坐標(biāo)y₁,y₂.求證：y₁y₂=-2pa  x₁x₂=-a²

證后可以看出原題是變式２的特例：a=p/2再進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生交換題設(shè)的條件與結(jié)論，探求如下：

變題3：過拋物線y²=2px對稱軸一點(diǎn)與拋物線相交兩個交點(diǎn)的縱坐標(biāo)y₁,y₂且y₁y₂=-p²。求證：直線一定過焦點(diǎn)F。

如果繼續(xù)更換條件，對題目引申改造還可得到其它探索性問題，這里僅舉3變式為例進(jìn)行變式探求教學(xué)。充分展示例題教學(xué)的功能，提高創(chuàng)新思維能力。

b)      多選擇一些難度中等且有一定綜合性、靈活性的題目。

c)      多選擇一些能突破定勢，容易混淆的題目，通過學(xué)習(xí)解題加以針對性的彌補(bǔ)，完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，促其養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣。

d)     多選擇一題多解，溝通知識，培養(yǎng)發(fā)散思維的題目。

一題多解主要考查同學(xué)們橫向發(fā)散思維能力，橫向發(fā)散思維指的是依據(jù)試題給出的條件，使各式各樣的信息輸出而形成思維過程，它的主要特點(diǎn)是多渠道、多途徑去分析、探索解決試題的方法，活躍并拓寬思路，使所學(xué)知識連成片，融會貫通，提高學(xué)習(xí)效率。現(xiàn)舉一例如下：

例如  求證：(sinx＋cosx)(sin2x＋cos2x)＝cosx＋sin3x
若說明解本題的方向是和差化積與積化和差公式的合用，則學(xué)生一般只有以下兩種做法：
   [證法1]：左邊＝[sinx＋sin(90°－x)][sin2x＋sin(90°－2x)]
                ＝4sin45°cos(x－45°)sin45°cos(2x－45°)
                ＝2cos(x－45°)cos(2x－45°)＝cos(3x－90°)＋cosx 

＝cosx +sin3x＝右邊。                                                                 
   [證法2]：左邊＝sinxsin2x＋cosxcos2x＋sinxcos2x＋cosxsin2x
                ＝ (－cos3x+cosx+cos3x+cosx+sin3x－sinx+sin3x+sinx)
                ＝cosx＋sin3x＝右邊。
   　若僅說明積化和差與和差化積是辯證的過程，并要求學(xué)生大膽地嘗試，則他們會想到其它的證法，如：
   [證法3]：左邊＝sinxsin2x＋cosxcos2x＋sinxcos2x＋cosxsin2x
                ＝cos(2x－x)＋sin(2x＋x)＝cosx＋sin3x＝右邊。
   [證法4]：左邊＝2(sinxcos45°＋cosxsin45°)(sin2xcos45°＋cos2xsin45°)
                ＝2sin(x＋45°)sin(2x＋45°)＝－[cos(3x＋90°)－cos(－x)]
                ＝sin3x＋cosx＝右邊。
教師給學(xué)生一定的思考時間，并啟發(fā)學(xué)生對一個數(shù)學(xué)問題從多方位、多角度去聯(lián)想、思考、探索， 雖然學(xué)生要花許多時間，但做這樣的一題既加強(qiáng)了知識間的橫向聯(lián)系，又提高了學(xué)生思維能力和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

總之，把解題的過程作為對數(shù)學(xué)真理的探索和再發(fā)現(xiàn)的過程，通過少量精選題的研究達(dá)到貫通數(shù)學(xué)知識，掌握科學(xué)思想方法的目的，學(xué)會數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生形成“學(xué)數(shù)學(xué)、做數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)”的意識和良好習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立自主的思考習(xí)慣，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維，提高解題能力，真正達(dá)到“授漁”的良好效果

參考文獻(xiàn)：

張寶貴 例談?wù)n本習(xí)題充分“挖潛”的教育價值?！吨袑W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)》

方定明 改造課本習(xí)題 提高解題能力 ?！陡咧袛?shù)學(xué)教與學(xué)》