分類討論思想在解題中的應(yīng)用

 分類討論是解決問題的一種邏輯方法，也是一種數(shù)學(xué)思想，這種思想對(duì)于簡化研究對(duì)象，發(fā)展人的思維有著重要幫助，因此，有關(guān)分類討論的數(shù)學(xué)命題在高考試題中占有重要位置。
分類討論就是當(dāng)問題所給的對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí)，就需要對(duì)研究對(duì)象按某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)分類，然后對(duì)每一類分別研究得出每一類的結(jié)論，最后綜合各類結(jié)果得到整個(gè)問題的解答。實(shí)質(zhì)上，分類討論是“化整為零，各個(gè)擊破，再積零為整”的數(shù)學(xué)策略。
分類討論思想就是根據(jù)所研究對(duì)象的性質(zhì)差異，分各種不同的情況予以分析解決 分類討論題覆蓋知識(shí)點(diǎn)較多，利于考查學(xué)生的知識(shí)面、分類思想和技巧；同時(shí)方式多樣，具有較高的邏輯性及很強(qiáng)的綜合性，樹立分類討論思想，應(yīng)注重理解和掌握分類的原則、方法與技巧、做到“確定對(duì)象的全體，明確分類的標(biāo)準(zhǔn)，分層別類不重復(fù)、不遺漏的分析討論 ”
分類討論思想就是依據(jù)一定的標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)問題分類、求解，要特別注意分類必須滿足互斥、無漏、最簡的原則 分類討論常見的依據(jù)是 由概念內(nèi)涵分類 如絕對(duì)值、直線的斜率、指數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)、直線與平面的夾角等定義包含了分類； 由公式條件分類 如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、極限的計(jì)算、圓錐曲線的統(tǒng)一定義中圖形的分類等；由實(shí)際意義分類 如排列、組合、概率中較常見，但不明顯、有些應(yīng)用問題也需分類討論 在學(xué)習(xí)中也要注意優(yōu)化策略，有時(shí)利用轉(zhuǎn)化策略，如反證法、補(bǔ)集法、變更多元法、數(shù)形結(jié)合法等簡化甚至避開討論
例1：設(shè)函數(shù)
（I）求函數(shù) 的最小正周期；
（II）設(shè)函數(shù) 對(duì)任意 ，有 ，且當(dāng) 時(shí)， ； 求函數(shù) 在 上的解析式。
【解析】
（I）函數(shù) 的最小正周期 （2）當(dāng) 時(shí)，
當(dāng) 時(shí)，
當(dāng) 時(shí)，
得：函數(shù) 在 上的解析式為
例2：數(shù)列 滿足：
（I）證明：數(shù)列 是單調(diào)遞減數(shù)列的充分必要條件是
（II）求 的取值范圍，使數(shù)列 是單調(diào)遞增數(shù)列。
【解析】
（I）必要條件
當(dāng) 時(shí)， 數(shù)列 是單調(diào)遞減數(shù)列充分條件
數(shù)列 是單調(diào)遞減數(shù)列
得：數(shù)列 是單調(diào)遞減數(shù)列的充分必要條件是
（II）由（I）得：
①當(dāng) 時(shí)， ，不合題意
②當(dāng) 時(shí)，
當(dāng) 時(shí)， 與 同號(hào)，
由
當(dāng) 時(shí)，存在 ，使 與 異號(hào)
與數(shù)列 是單調(diào)遞減數(shù)列矛盾
得：當(dāng) 時(shí)，數(shù)列 是單調(diào)遞增數(shù)列
例3 給出定點(diǎn)A（a，0）（a>0）和直線l x=–1，B是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，∠BOA的角平分線交AB于點(diǎn)C 求點(diǎn)C的軌跡方程，并討論方程表示的曲線類型與a值的關(guān)系
本題考查動(dòng)點(diǎn)的軌跡，直線與圓錐曲線的基本知識(shí)，分類討論的思想方法 綜合性較強(qiáng)，解法較多，考查推理能力和綜合運(yùn)用解析幾何知識(shí)解題的能力
解法一 依題意，記B（–1，b），（b∈R），則直線OA和OB的方程分別為y=0和y=–bx
設(shè)點(diǎn)C（x，y），則有0≤x根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得|y|= ①
依題設(shè)，點(diǎn)C在直線AB上，故有 ；由x–a≠0，得 ②
將②式代入①式，得y2[（1–a）x2–2ax+（1+a）y2]=0
若y≠0，則 （1–a）x2–2ax+（1+a）y2=0（0若y=0則b=0，∠AOB=π，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，0）滿足上式
綜上，得點(diǎn)C的軌跡方程為（1–a）x2–2ax+（1+a）y2=0（0（i）當(dāng)a=1時(shí)，軌跡方程化為y2=x（0≤x<1） ③
此時(shí)方程③表示拋物線弧段；
（ii）當(dāng)a≠1，軌跡方程化為
④
所以當(dāng)0當(dāng)a>1時(shí)，方程④表示雙曲線一支的弧段
解法二 設(shè)C（x，y）、B（–1，b），則BO的方程為y=–bx，
直線AB的方程為
∵當(dāng)b≠0時(shí)，OC平分∠AOB，設(shè)∠AOC=θ，
∴直線OC的斜率為k=tanθ，OC的方程為y=kx于是
又tan2θ=–b ∴–b= ①
∵C點(diǎn)在AB上 ∴ ②
由①、②消去b，得 ③
又 ，代入③，有
整理，得（a–1）x2–（1+a）y2+2ax=0 ④
當(dāng)b=0時(shí)，即B點(diǎn)在x軸上時(shí)，C（0，0）滿足上式
a≠1時(shí)，④式變?yōu)?br />當(dāng)0當(dāng)a>1時(shí)，④表示雙曲線一支的弧段；
當(dāng)a=1時(shí)，④表示拋物線弧段
布魯納認(rèn)為：“掌握數(shù)學(xué)思想和方法使得數(shù)學(xué)更容易理解和更容易記憶，更重要的是，領(lǐng)會(huì)基本思想和方法是通向遷移大道的‘光明之路’”.因此，解題教學(xué)中不僅要揭示解題過程中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，更為重要的是要積極引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)思想方法幫助找到解題思路，它是能力的具體體現(xiàn)之一，是最高層次的教學(xué)要求，將使學(xué)生終身受益.