化工過(guò)程多回路PID控制系統(tǒng)模式切換參數(shù)自整定

引言

化工過(guò)程一般為多變量系統(tǒng)，即存在著多個(gè)被控變量和多個(gè)操縱變量。隨著各種化工過(guò)程先進(jìn)工藝的快速發(fā)展，越來(lái)越多的生產(chǎn)過(guò)程被構(gòu)造成多變量控制系統(tǒng)[1]。與單變量系統(tǒng)相比，多變量系統(tǒng)輸入變量和輸出變量之間一般存在一定程度的耦合，這就為多變量系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)帶來(lái)了不小的困難。對(duì)于多變量系統(tǒng)，設(shè)計(jì)一個(gè)包含所有被控變量和操縱變量的集中控制系統(tǒng)是最為理想的，但是這樣的控制設(shè)計(jì)方案復(fù)雜，難以實(shí)現(xiàn)，不易維護(hù)，可靠性差。因此，考慮到底層控制系統(tǒng)安全可靠的要求，工業(yè)現(xiàn)場(chǎng)的底層控制系統(tǒng)仍然主要采用常規(guī)分散PID控制[2-3]，即將多變量系統(tǒng)分解為多個(gè)單變量子系統(tǒng)，分別設(shè)計(jì)PID控制回路，組成分散的多回路PID控制系統(tǒng)。分散多回路PID控制因其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、設(shè)計(jì)和整定的簡(jiǎn)便性以及良好的魯棒性等優(yōu)點(diǎn)，從而在工業(yè)過(guò)程控制領(lǐng)域占有較大的比重。

在進(jìn)行多回路PID控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)，首先確定操縱變量和被控變量的控制回路配對(duì)，然后將各PID控制回路視為單變量系統(tǒng)，整定PID控制參數(shù)，多回路PID控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)應(yīng)考慮多變量系統(tǒng)的操縱變量和被控變量之間存在的相互耦合作用[4]，控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)應(yīng)使控制回路間的耦合作用盡可能小。Bristol[5]提出了相對(duì)增益陣(relative gain array, RGA)，Wang等[6]將其推廣到高維系統(tǒng)。在RGA中應(yīng)當(dāng)盡可能選擇大于零且接近于1的元素對(duì)應(yīng)的輸入輸出配對(duì)，即可保證控制回路之間的耦合最小化。為保證閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定性，Niederlinski[7]提出了尼德林斯基指數(shù)(Niederlinski index, NI)，與RGA配合使用，篩選不合適的控制回路配對(duì)。由于RGA只是利用系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)信息，忽略了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，因此在其基礎(chǔ)上提出了各種基于動(dòng)態(tài)信息的改進(jìn)方法。RGA的動(dòng)態(tài)改進(jìn)方法大體可以分為：基于開環(huán)階躍響應(yīng)的時(shí)域RGA[8-9]、基于頻率特性的頻域RGA[10-11]、基于最優(yōu)閉環(huán)控制器的動(dòng)態(tài)RGA[12-13]、穩(wěn)態(tài)信息與動(dòng)態(tài)信息結(jié)合的組合RGA[14-17]。雖然RGA及其改進(jìn)方法在一定程度上解決了常規(guī)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)問(wèn)題，但是控制系統(tǒng)性能還與控制器參數(shù)有關(guān)。由于系統(tǒng)內(nèi)部耦合作用的存在，其他回路的控制器參數(shù)必定對(duì)本回路的等效被控對(duì)象產(chǎn)生影響[18]。在實(shí)際工業(yè)現(xiàn)場(chǎng)，由于種種工藝需求，操作人員往往需要對(duì)控制回路進(jìn)行手動(dòng)/自動(dòng)切換。當(dāng)其他回路開環(huán)/閉環(huán)切換時(shí)，本回路的等效被控對(duì)象必然發(fā)生變化，本回路的PID控制器參數(shù)應(yīng)當(dāng)進(jìn)行相應(yīng)的調(diào)整以適應(yīng)本回路被控對(duì)象動(dòng)態(tài)特性的變化，才能保證穩(wěn)定性并維持一定的控制性能。

本文將利用現(xiàn)代頻域法，從多變量系統(tǒng)對(duì)角優(yōu)勢(shì)下正Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)的角度考慮，進(jìn)行控制回路模式切換時(shí)的控制器參數(shù)校正工作。目前現(xiàn)代頻域法的控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)從單變量系統(tǒng)推廣到了多變量系統(tǒng)[19-20]。Nyquist陣列設(shè)計(jì)法是現(xiàn)代多變量頻域設(shè)計(jì)法中最成熟的一種方法。Rosenbrock等[21-23]論述了Nyquist陣列設(shè)計(jì)法的基本思想，為后續(xù)研究提供了基本研究方法。在此基礎(chǔ)上，McMorran[24-25]提出了逆Nyquist陣列設(shè)計(jì)的擴(kuò)展方法。Ho等[26]和Chen等[27]提出了正Nyquist陣列設(shè)計(jì)方法。Nyquist陣列設(shè)計(jì)法往往與Gershgorin帶結(jié)合使用，Gershgorin帶可以同時(shí)判斷控制系統(tǒng)的對(duì)角優(yōu)勢(shì)和閉環(huán)穩(wěn)定性，Chen等[28]利用Gershgorin帶定理對(duì)多變量系統(tǒng)完成了PID控制器參數(shù)設(shè)計(jì)。

常規(guī)PID控制的整定算法一般只是針對(duì)單變量系統(tǒng)。Luyben[29]提出了著名的BLT方法，即利用Z-N規(guī)則來(lái)調(diào)整PID參數(shù)，Ho等[30]提出了基于增益和相角裕量的設(shè)計(jì)方法。多變量分散PID控制中控制回路模式切換時(shí)控制器參數(shù)的校正問(wèn)題尚無(wú)研究。

本文基于對(duì)角優(yōu)勢(shì)下正Nyquist穩(wěn)定判據(jù)，從Gershgorin圓邊界點(diǎn)的角度分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，根據(jù)閉環(huán)穩(wěn)定性進(jìn)一步確定控制器增益的調(diào)整方向及程度，以保證控制回路在切換前后的閉環(huán)穩(wěn)定性。

1 控制回路模式切換問(wèn)題

對(duì)于一個(gè)存在內(nèi)部耦合的多變量化工過(guò)程，考慮到化工過(guò)程多回路PID控制系統(tǒng)模式切換時(shí)對(duì)實(shí)時(shí)性和實(shí)際工業(yè)現(xiàn)場(chǎng)操作人員對(duì)可操作性的要求，本文采用了工業(yè)過(guò)程控制中常用的一階慣性純滯后的傳遞函數(shù)矩陣 G (s)形式，如式(1)所示。

G(s)=???????g11(s)g21(s)?gn1(s)g12(s)g22(s)?gn2(s)????g1n(s)g2n(s)?gnn(s)???????$G\left(s\right)=\left(\begin{array}{cccc}{g}_{11}\left(s\right)& g_{12}\left(s\right)& ?& g_{1n}\left(s\right)\\ g_{21}\left(s\right)& g_{22}\left(s\right)& ?& g_{2n}\left(s\right)\\ ?& ?& ?& ?\\ g_{n1}\left(s\right)& g_{n2}\left(s\right)& ?& g_{nn}\left(s\right)\end{array}\right)$(1)

其中

gij(s)=kije?τijsTijs+1(i, j=1, 2, 3, ?, n)$\begin{array}{cc}{g}_{ij}\left(s\right)=\frac{k_{ij}{e}^{-{\tau }_{ij}s}}{T_{ij}s+1}& (i,j=1,2,3,?,n)\end{array}$

式中，s為復(fù)變量。

式(1)為系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)點(diǎn)附近的線性化模型，具有形式簡(jiǎn)單、適用性強(qiáng)、易于獲取的特點(diǎn)，并且在定值控制系統(tǒng)中各變量都不會(huì)偏離穩(wěn)態(tài)點(diǎn)太遠(yuǎn)，因此精度也能滿足控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)要求。

工業(yè)現(xiàn)場(chǎng)經(jīng)驗(yàn)豐富的工藝人員很容易獲取這種一階慣性純滯后模型，他們一般都能知曉各輸入變量對(duì)各輸出變量的靜態(tài)增益k，以及當(dāng)輸入變量發(fā)生變化后輸出變量多長(zhǎng)時(shí)間才能變化和多長(zhǎng)時(shí)間到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)，分別對(duì)應(yīng)純滯后時(shí)間τ和動(dòng)態(tài)響應(yīng)時(shí)間ts，由此可以計(jì)算得到時(shí)間常數(shù)T（動(dòng)態(tài)響應(yīng)時(shí)間ts減掉純滯后時(shí)間τ后再除以3或4）。

對(duì)于由式(1)表示的化工過(guò)程，其控制方式可以分為兩種：集中控制和分散控制。

集中控制采用單個(gè)控制器，變量之間僅一種配對(duì)方式，其控制效果較好，但直接設(shè)計(jì)集中控制器的難度較大。一般設(shè)計(jì)單個(gè)解耦器和多個(gè)控制器作為集中控制器[31]，變量之間采用對(duì)角配對(duì)方式，控制效果與解耦效果相關(guān)，其控制結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1

圖1   多變量解耦控制

Fig.1   Multivariable decoupling control

分散控制采用多個(gè)單變量控制器，變量配對(duì)方式有多種，控制效果稍差，但其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、設(shè)計(jì)難度小、易于維護(hù)以及具有良好的魯棒性能等，因此應(yīng)用比較廣泛[32-33]，其控制結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2

圖2   多變量分散控制

Fig.2   Multivariate decentralized control

本文所研究的控制系統(tǒng)為分散PID控制系統(tǒng)。下面以雙輸入雙輸出的2×2$2\times 2$被控過(guò)程為例，分析控制回路模式切換時(shí)系統(tǒng)的耦合問(wèn)題對(duì)控制回路的閉環(huán)影響。例如，精餾塔就是典型的2×2$2\times 2$系統(tǒng)，塔頂冷回流量和塔底再沸蒸汽量就是兩個(gè)操縱變量，塔頂溫度和塔釜溫度為兩個(gè)被控變量，操縱變量和被控變量之間存在比較嚴(yán)重的耦合。眾所周知，當(dāng)采用常規(guī)PID控制器時(shí)，塔頂溫度和塔底溫度是很難同時(shí)進(jìn)行控制的，當(dāng)塔頂溫度與冷回流量組成控制回路時(shí)，塔底溫度就不能作為被控變量了。具體原因如下。

假設(shè)2×2$2\times 2$系統(tǒng)傳遞函數(shù)陣為

G(s)=[g11(s)g21(s)g12(s)g22(s)]$G\left(s\right)=\left(\begin{array}{cc}{g}_{11}\left(s\right)& g_{12}\left(s\right)\\ g_{21}\left(s\right)& g_{22}\left(s\right)\end{array}\right)$(2)

當(dāng)僅第一個(gè)控制回路投入自動(dòng)模式，如圖3所示，此時(shí)u2不發(fā)生變化，此時(shí)

y1(s)=g11(s)u1(s)$y_1\left(s\right)=g_{11}\left(s\right)u_1\left(s\right)$(3)

圖3

圖3   僅第一個(gè)控制回路閉合時(shí)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

Fig.3   Block diagram of the system structure when only the first control loop is closed

u1對(duì)y1控制回路的等效被控對(duì)象的傳遞函數(shù)為g11(s)。

當(dāng)?shù)诙€(gè)控制回路也投入自動(dòng)模式(圖4)，由于系統(tǒng)內(nèi)部的耦合作用，輸入u1除了通過(guò)g11(s)影響輸出y1，還通過(guò)g21(s)影響輸出y2，輸出y2通過(guò)閉環(huán)的第二個(gè)控制回路影響輸入u2，輸入u2通過(guò)g12(s)影響輸出y1，此時(shí)

圖4

圖4   第二個(gè)控制回路閉合時(shí)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

Fig.4   Block diagram of system structure when the second control loop is closed

y1(s)=[g11(s)?g12(s)(c?12(s)+g22(s))?1g21(s)]u1(s)$y_1\left(s\right)=\left(g_{11}\left(s\right)-g_{12}\left(s\right){\left(c_2^{-1}\left(s\right)+g_{22}\left(s\right)\right)}^{-1}{g}_{21}\left(s\right)\right)u_1\left(s\right)$(4)

u1對(duì)y1控制回路的等效被控對(duì)象的傳遞函數(shù)中除了第二個(gè)控制回路開環(huán)時(shí)的等效傳遞函數(shù)g11(s)，還包含了輸入u1、u2和輸出y1、y2之間的相互耦合影響g12(s)、g21(s)，第二個(gè)控制回路的開環(huán)被控對(duì)象g22(s)和控制器c2(s)。y1和u1之間的開環(huán)傳遞函數(shù)可用虛線框中部分來(lái)表示。因此，由于系統(tǒng)內(nèi)部耦合的影響，當(dāng)其他回路進(jìn)行手動(dòng)/自動(dòng)模式切換時(shí)，本回路的等效被控對(duì)象會(huì)發(fā)生較大的變化，原有的控制器參數(shù)如果不進(jìn)行及時(shí)的調(diào)整，控制性能會(huì)下降，甚至?xí)斐烧麄€(gè)系統(tǒng)的不穩(wěn)定。隨著系統(tǒng)規(guī)模的增大，其耦合程度也將加劇，每增加一個(gè)控制回路，將會(huì)對(duì)更多已設(shè)計(jì)完成的控制回路產(chǎn)生影響，已設(shè)計(jì)好的控制器大概率上無(wú)法維持控制回路模式切換后整個(gè)控制系統(tǒng)的性能。

2 全局Nyquist穩(wěn)定判據(jù)

對(duì)于多變量系統(tǒng)的多回路分散常規(guī)控制系統(tǒng)，由于各控制回路之間存在相互影響，控制系統(tǒng)不能僅考慮各個(gè)局部的控制回路的穩(wěn)定性，而應(yīng)從整個(gè)系統(tǒng)的角度研究控制回路模式切換時(shí)的穩(wěn)定性。下面基于對(duì)角優(yōu)勢(shì)下正Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)，從Gershgorin圓邊界點(diǎn)出發(fā)定量分析各個(gè)控制回路在模式切換前后的穩(wěn)定性變化程度的方法。

2.1 對(duì)角優(yōu)勢(shì)

若 G (s)在包圍右半s平面的初等D形圍線上滿足以下關(guān)系

|gii(s)|>∑j=1i≠jn∣∣gij(s)∣∣(i=1, 2, 3, ?, n)$\left(g_{ii}\left(s\right)\right)>\sum _{\begin{array}{c}j=1\\ i\ne j\end{array}}^n\left(g_{ij}\left(s\right)\right)\begin{array}{cc}& (i=1,2,3,?,n)\end{array}$(5)

則稱 G (s)具有行對(duì)角優(yōu)勢(shì)。

若 G (s)在包圍右半s平面的初等D形圍線上滿足以下關(guān)系

|gii(s)|>∑j=1i≠jn∣∣gji(s)∣∣(i=1, 2, 3, ?, n)$\left(g_{ii}\left(s\right)\right)>\sum _{\begin{array}{c}j=1\\ i\ne j\end{array}}^n\left(g_{ji}\left(s\right)\right)\begin{array}{cc}& (i=1,2,3,?,n)\end{array}$(6)

則稱 G (s)具有列對(duì)角優(yōu)勢(shì)。

G (s)滿足行對(duì)角優(yōu)勢(shì)或列對(duì)角優(yōu)勢(shì)都稱其具有對(duì)角優(yōu)勢(shì)。

2.2 Gershgorin圓

對(duì)于傳遞函數(shù)矩陣 G (s)，以其對(duì)角元素gii (s)在復(fù)平面s上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為圓心，以其第i行的行非對(duì)角元素模之和di 為半徑作圓，此圓稱為第i行Gershgorin圓。以其第i列的列非對(duì)角元素模之和d'i${}_i^{\text{'}}$為半徑作圓，此圓稱為第i列Gershgorin圓。對(duì)于n階傳遞函數(shù)矩陣，其具有n個(gè)行Gershgorin圓和n個(gè)列Gershgorin圓。

行Gershgorin圓的表達(dá)式為

|s?gii|=di(i=1, 2, 3, ?, n)$\left(s-g_{ii}\right)=d_i\begin{array}{cc}& (i=1,2,3,?,n)\end{array}$(7)

列Gershgorin圓的表達(dá)式為

|s?gii|=d'i(i=1, 2, 3, ?, n)$\left(s-g_{ii}\right)=d_i^{\text{'}}\begin{array}{cc}& (i=1,2,3,?,n)\end{array}$(8)

隨著s的變化，這些圓掃出n個(gè)帶狀區(qū)域，稱為行(或列)Gershgorin帶。

2.3 多變量系統(tǒng)正Nyquist穩(wěn)定判據(jù)

多變量控制系統(tǒng)的一般結(jié)構(gòu)如圖5所示。

圖5

圖5   系統(tǒng)的控制結(jié)構(gòu)

Fig.5   System control chart

圖中， r、e、y 分別為被控變量給定值、控制偏差和系統(tǒng)輸出； G (s)為被控過(guò)程傳遞函數(shù)矩陣；對(duì)于多回路PID控制器， C (s)為對(duì)角矩陣形式的控制器； F 為反饋系數(shù)矩陣，為滿秩常數(shù)對(duì)角矩陣。

C(s)=???????c1(s)0c2(s)?0?cn(s)???????$C\left(s\right)=\left(\begin{array}{cccc}{c}_1\left(s\right)& & & 0\\ & c_2\left(s\right)& & \\ & & ?& ?\\ 0& & & c_n\left(s\right)\end{array}\right)$(9)F=???????f10f2?0?fn???????$F=\left(\begin{array}{cccc}{f}_1& & & 0\\ & f_2& & \\ & & ?& ?\\ 0& & & f_n\end{array}\right)$(10)

令 Q (s)為前向通道傳遞函數(shù)矩陣Q(s)=G(s)C(s)=[qij(s)]n×n$Q\left(s\right)=G\left(s\right)C\left(s\right)={\left(q_{ij}\left(s\right)\right)}_{n\times n}$，由于基于RGA方法進(jìn)行控制回路配對(duì)后 G (s)一般為對(duì)角優(yōu)勢(shì)矩陣， C (s)為對(duì)角矩陣，因此 Q (s)大概率為對(duì)角優(yōu)勢(shì)矩陣。

基于開環(huán)對(duì)角優(yōu)勢(shì)系統(tǒng) Q (s)，結(jié)合Gershgorin圓的概念，多變量系統(tǒng)的正Nyquist穩(wěn)定判據(jù)如下。

(1)諸qii (s)的行Gershgorin帶或列Gershgorin帶不包含對(duì)應(yīng)的臨界點(diǎn)(?f?1i, j0)$(-f_i^{-1},j0)$在內(nèi)。

(2)諸qii (s)的行Gershgorin帶或列Gershgorin帶關(guān)于臨界點(diǎn)(?f?1i, j0)$(-f_i^{-1},j0)$的逆時(shí)針圍繞周數(shù)之和等于 Q (s)的開環(huán)特征多項(xiàng)式在右半s平面的零點(diǎn)個(gè)數(shù)no$n_o$，即

∑i=1n[enc(?f?1i, j0)qii(s)]=no$\sum _{i=1}^n\left(en{c}_{(-f_i^{-1},j0)}{q}_{ii}\left(s\right)\right)=n_o$(11)

式中，enc(?f?1i, j0)qii(s)$en{c}_{(-f_i^{-1},j0)}{q}_{ii}\left(s\right)$表示第i行或第i列的Gershgorin帶逆時(shí)針圍繞(?f?1i, j0)$(-f_i^{-1},j0)$的周數(shù)。

如果 Q (s)為開環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)，即 Q (s)的開環(huán)特征多項(xiàng)式在右半s平面的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為零，并且反饋系數(shù)矩陣 F 為單位陣，則穩(wěn)定判據(jù)(2)改為：諸qii (s)的行Gershgorin帶或列Gershgorin帶不繞過(guò)臨界點(diǎn)(?1, j0)$(-1,j0)$。

上述對(duì)角優(yōu)勢(shì)下正Nyquist穩(wěn)定判據(jù)中，(1)為對(duì)角優(yōu)勢(shì)判據(jù)，判斷 Q (s)是否對(duì)角優(yōu)勢(shì)；(2)為穩(wěn)定性判據(jù)，判斷 Q (s)滿足對(duì)角優(yōu)勢(shì)條件下是否穩(wěn)定。該判據(jù)為一充分性判據(jù)。當(dāng)系統(tǒng)滿足上述判據(jù)時(shí)，一定為穩(wěn)定系統(tǒng)；當(dāng)某一系統(tǒng)不滿足對(duì)角優(yōu)勢(shì)時(shí)，也可能為一穩(wěn)定系統(tǒng)。該判據(jù)與系統(tǒng)穩(wěn)定性的邏輯關(guān)系可用Venn圖表示(圖6)。

圖6

圖6   正Nyquist判據(jù)與穩(wěn)定性之間的Venn圖

Fig.6   The Venn diagram between direct Nyquist criterion and system stability

3 控制回路模式切換時(shí)控制器參數(shù)校正方案

基于對(duì)角優(yōu)勢(shì)下的正Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)，當(dāng)開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，行Gershgorin帶或列Gershgorin帶在實(shí)軸上的邊界點(diǎn)將成為閉環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定的關(guān)鍵。根據(jù)各控制回路在模式切換前后各Gershgorin帶邊界點(diǎn)的變化程度，可確定各回路控制器增益的調(diào)整方向及程度，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)各回路的控制器參數(shù)在控制回路模式切換瞬間的自動(dòng)整定。

3.1 一階慣性純滯后多變量系統(tǒng)的Gershgorin圓邊界點(diǎn)

如果被控過(guò)程傳遞函數(shù)矩陣 G (s)的各元素gij (s)均為一階慣性純滯后系統(tǒng)，控制器傳遞函數(shù)對(duì)角矩陣 C (s)的各元素ci (s)均為PID控制器，反饋系數(shù)矩陣 F 一般為單位陣，即

gij(s)=kije?τijsTijs+1(i, j=1, 2, 3,?, n)$\begin{array}{cc}{g}_{ij}\left(s\right)=\frac{k_{ij}{e}^{-{\tau }_{ij}s}}{T_{ij}s+1}& (i,j=1,2,3,?,n)\end{array}$(12)ci(s)=KPi+KIis+KDis(i=1, 2, 3,?, n)$\begin{array}{cc}{c}_i\left(s\right)=K_{P_i}+\frac{K_{I_i}}{s}+K_{D_i}s& (i=1,2,3,?,n)\end{array}$(13)

令s=jω，可以得到其頻域表達(dá)式為

gij(jω)=kije?τij?jωTij?jω+1=kij1+Tij2ω2√?∠?arctg(Tijω)?τijω$g_{ij}\left(j\omega \right)=\frac{k_{ij}{e}^{-{\tau }_{ij}?j\omega }}{T_{ij}?j\omega +1}=\frac{k_{ij}}{\sqrt[]{1+{T_{ij}}^2{\omega }^2}}?\angle -arctg\left(T_{ij}\omega \right)-{\tau }_{ij}\omega$(14)ci(jω)=KPi+KIijω+KDi?jω=KPi2+(KDiω?KIiω)2??????????????????√?∠arctgKDiω?KIiωKPi$\begin{array}{c}{c}_i\left(j\omega \right)=K_{P_i}+\frac{K_{I_i}}{j\omega }+K_{D_i}?j\omega =\\ \sqrt[]{{K_{P_i}}^2+{\left(K_{D_i}\omega -\frac{K_{I_i}}{\omega }\right)}^2}?\angle arctg\frac{K_{D_i}\omega -\frac{K_{I_i}}{\omega }}{K_{P_i}}\end{array}$(15)

進(jìn)一步可以得到前向通道傳遞函數(shù)矩陣的頻域表達(dá)式為

qij(jω)=gij(jω)cj(jω)=Aij?∠φij=kijKPj2+(KDjω?KIjω)21+Tij2ω2????????????????∠(arctgKDjω?KIjωKPj?arctg(Tijω)?τijω)$\begin{array}{c}{q}_{ij}\left(j\omega \right)=g_{ij}\left(j\omega \right)c_j\left(j\omega \right)=A_{ij}?\angle {\phi }_{ij}=\\ k_{ij}\sqrt[]{\frac{{K_{P_j}}^2+{\left(K_{D_j}\omega -\frac{K_{I_j}}{\omega }\right)}^2}{1+{T_{ij}}^2{\omega }^2}}?\angle \left(arctg\frac{K_{D_j}\omega -\frac{K_{I_j}}{\omega }}{K_{P_j}}-arctg\left(T_{ij}\omega \right)-{\tau }_{ij}\omega \right)\end{array}$(16)

文獻(xiàn)[34-35]指出，模型的開環(huán)頻率響應(yīng)不需要在所有的頻段都很準(zhǔn)確，只需在穿越頻率附近或控制器的工作頻帶范圍內(nèi)足夠準(zhǔn)確，就可以滿足系統(tǒng)設(shè)計(jì)的要求。下面分析ω=0+→+∞$\omega =0^{+}\to +\infty$時(shí)， Q (s)對(duì)角元素qii (s)幅值和相角的變化情況：

當(dāng)ω=0+$\omega =0^{+}$時(shí)，qii(jω)=∞?∠?π2$q_{ii}\left(j\omega \right)=\infty ?\angle -\frac{\pi }{2}$；

當(dāng)ω$\omega$逐漸增大時(shí)，相角表達(dá)式∠φii=∠(arctgKDiω?KIiωKPi?arctg(Tiiω)?τiiω)$\angle {\phi }_{ii}=\angle \left(arctg\frac{K_{D_i}\omega -\frac{K_{I_i}}{\omega }}{K_{P_i}}-arctg\left(T_{ii}\omega \right)-{\tau }_{ii}\omega \right)$，可看作由兩個(gè)有界函數(shù)和一個(gè)一次函數(shù)組成，由于一次項(xiàng)?τω$-\tau \omega$的存在，隨著ω$\omega$的增大，其整體將呈下降趨勢(shì)；

當(dāng)ω$\omega$逐漸增大時(shí)，幅值表達(dá)式Aii=kiiKPi2+(KDiω?KIiω)21+Tii2ω2??????????????$A_{ii}=k_{ii}\sqrt[]{\frac{{K_{P_i}}^2+{\left(K_{D_i}\omega -\frac{K_{I_i}}{\omega }\right)}^2}{1+{T_{ii}}^2{\omega }^2}}$，考慮實(shí)際工業(yè)過(guò)程中慣性系數(shù)T將遠(yuǎn)大于控制器參數(shù)，因此隨著ω$\omega$的增大，幅值整體也將呈下降趨勢(shì)。所以，∠φ=?π$\angle \phi =-\pi$時(shí)Gershgorin圓的圓心qii (jω)將最接近(?1, j0)$(-1,j0)$點(diǎn)。由于反饋系數(shù)矩陣 F 一般為單位陣，因此qii (jω)與(?1, j0)$(-1,j0)$點(diǎn)的接近程度也是最值得關(guān)注的。

綜上所述，研究∠φ=?π$\angle \phi =-\pi$時(shí)的Gershgorin帶對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性具有重大意義。此時(shí)頻率為圓心qii (jω)的穿越頻率ωc。Gershgorin帶與實(shí)軸兩交點(diǎn)的左交點(diǎn)為Gershgorin帶邊界點(diǎn)。通過(guò)求解qii (jω)的穿越頻率ωc，代入式(16)，即可求出對(duì)角元素和非對(duì)角元素在qii (jω)穿越頻率的幅值。

Aij=kijKPj2+(KDjωc?KIjωc)21+Tij2ωc2???????????????$A_{ij}=k_{ij}\sqrt[]{\frac{{K_{P_j}}^2+{\left(K_{D_j}{\omega }_c-\frac{K_{I_j}}{{\omega }_c}\right)}^2}{1+{T_{ij}}^2{{\omega }_c}^2}}$(17)

當(dāng)i=j$i=j$時(shí)，Aii 為與實(shí)軸相交的Gershgorin帶的圓心；當(dāng)i≠j$i\ne j$時(shí)，∑Aij$\sum A_{ij}$為與實(shí)軸相交的Gershgorin帶圓的半徑。由此可得行Gershgorin圓邊界點(diǎn)和列Gershgorin圓邊界點(diǎn)。

行Gershgorin圓邊界點(diǎn)表達(dá)式

???????????????????????hi,0=?Aii+∑j=1i≠jnAij hi,?1=?Aii?∑j=1i≠jnAij(i=1, 2, 3,?, n)$\left(\begin{array}{c}{h}_{i,0}=-A_{ii}+\sum _{\begin{array}{c}j=1\\ i\ne j\end{array}}^n{A}_{ij}\\ h_{i,-1}=-A_{ii}-\sum _{\begin{array}{c}j=1\\ i\ne j\end{array}}^n{A}_{ij}\end{array}\right)\begin{array}{cc}& (i=1,2,3,?,n)\end{array}$(18)

列Gershgorin圓邊界點(diǎn)表達(dá)式

???????????????????????h'i,0=?Aii+∑j=1i≠jnAjih'i,?1=?Aii?∑j=1i≠jnAji(i=1, 2, 3, ?, n)$\left(\begin{array}{c}{h}_{i,0}^{\text{'}}=-A_{ii}+\sum _{\begin{array}{c}j=1\\ i\ne j\end{array}}^n{A}_{ji}\\ h_{i,-1}^{\text{'}}=-A_{ii}-\sum _{\begin{array}{c}j=1\\ i\ne j\end{array}}^n{A}_{ji}\end{array}\right)\begin{array}{cc}& (i=1,2,3,?,n)\end{array}$(19)

式中，hi,0、h'i,0為接近原點(diǎn)的Gershgorin圓邊界點(diǎn)；hi,?1、h'i,?1為接近(?1, j0)$(-1,j0)$的Gershgorin圓邊界點(diǎn)。

根據(jù)Gershgorin圓邊界點(diǎn)，對(duì)角優(yōu)勢(shì)下的正Nyquist穩(wěn)定判據(jù)可以轉(zhuǎn)化為:

行對(duì)角優(yōu)勢(shì)

hi,?1>?1    and    hi,0<0(i=1, 2, 3,?, n)$h_{i,-1}>-1and{h}_{i,0}<0\begin{array}{cc}& (i=1,2,3,?,n)\end{array}$(20)

或列對(duì)角優(yōu)勢(shì)

h'i,?1>?1    and    h'i,0<0(i=1, 2, 3,?, n)$h_{i,-1}^{\text{'}}>-1and{h}_{i,0}^{\text{'}}<0\begin{array}{cc}& (i=1,2,3,?,n)\end{array}$(21)

3.2 控制器參數(shù)校正方法

當(dāng)控制回路模式切換后，控制系統(tǒng)出現(xiàn)不穩(wěn)定的情況時(shí)，由對(duì)角優(yōu)勢(shì)下正Nyquist穩(wěn)定判據(jù)可知，其原因?yàn)槟承校校〨ershgorin圓邊界點(diǎn)hi,?1$h_{i,-1}$(或h'i,?1$h_{i,-1}^{\text{'}}$)在(?1, j0)$(-1,j0)$點(diǎn)左側(cè)，如圖7(a)所示。此時(shí)，需要通過(guò)校正相應(yīng)控制器參數(shù)，使得所有行（列）Gershgorin圓邊界點(diǎn)hi,?1$h_{i,-1}$(或h'i,?1$h_{i,-1}^{\text{'}}$)在(?1, j0)$(-1,j0)$點(diǎn)右側(cè)，如圖7(b)所示。

圖7

圖7   校正前后Gershgorin圓情況

Fig.7   The situation of Gershgorin circle before and after correction

對(duì)于一個(gè)多回路分散PID控制系統(tǒng)，控制器為對(duì)角矩陣形式，其前向通道傳遞函數(shù)矩陣如下

Q(s)=G(s)C(s)=???????c1(s)g11(s)c1(s)g21(s)?c1(s)gn1(s)c2(s)g12(s)c2(s)g22(s)?c2(s)gn2(s)????cn(s)g1n(s)cn(s)g2n(s)?cn(s)gnn(s)???????$Q\left(s\right)=G\left(s\right)C\left(s\right)=\left(\begin{array}{cccc}{c}_1\left(s\right)g_{11}\left(s\right)& c_2\left(s\right)g_{12}\left(s\right)& ?& c_n\left(s\right)g_{1n}\left(s\right)\\ c_1\left(s\right)g_{21}\left(s\right)& c_2\left(s\right)g_{22}\left(s\right)& ?& c_n\left(s\right)g_{2n}\left(s\right)\\ ?& ?& ?& ?\\ c_1\left(s\right)g_{n1}\left(s\right)& c_2\left(s\right)g_{n2}\left(s\right)& ?& c_n\left(s\right)g_{nn}\left(s\right)\end{array}\right)$(22)

由式(22)和列Gershgorin圓邊界點(diǎn)定義可知，若調(diào)整第i個(gè)控制器ci(s)$c_i\left(s\right)$的參數(shù)，則第i列Gershgorin圓邊界點(diǎn)h'i,?1$h_{i,-1}^{\text{'}}$將發(fā)生變化；若第i個(gè)控制器ci(s)$c_i\left(s\right)$增益調(diào)整為原來(lái)的p倍，則第i列Gershgorin圓邊界點(diǎn)h'i,?1$h_{i,-1}^{\text{'}}$的值也將調(diào)整為原來(lái)的p倍；而對(duì)于行Gershgorin圓邊界點(diǎn)而言，若調(diào)整第i個(gè)控制器ci(s)$c_i\left(s\right)$的參數(shù)，則所有的行Gershgorin圓邊界點(diǎn)hi,?1$h_{i,-1}$都將發(fā)生變化，調(diào)整后的諸行Gershgorin圓邊界點(diǎn)hi,?1$h_{i,-1}$的值需由式(18)重新計(jì)算。因此，行Gershgorin圓邊界點(diǎn)的計(jì)算遠(yuǎn)不如列Gershgorin圓邊界點(diǎn)的計(jì)算便利，故本文根據(jù)列Gershgorin圓邊界點(diǎn)的值來(lái)完成控制器參數(shù)的校正工作。

當(dāng)控制回路模式切換時(shí)，若第i列Gershgorin圓邊界點(diǎn)h'i,?1$h_{i,-1}^{\text{'}}$不滿足對(duì)角優(yōu)勢(shì)下的正Nyquist穩(wěn)定判據(jù)，即h'i,?1<?1$h_{i,-1}^{\text{'}}<-1$，此時(shí)需將第i個(gè)控制器的增益縮小pi$p_i$倍，pi$p_i$的大小可由式(23)確定

pi=λi∣∣h'i,?1∣∣$p_i=\frac{{\lambda }_i}{\left(h_{i,-1}^{\text{'}}\right)}$(23)

式中，為確保Gershgorin圓邊界點(diǎn)與(?1, j0)$(-1,j0)$有一定距離，一般對(duì)pi$p_i$乘以裕量系數(shù)λi${\lambda }_i$(0.5≤λi≤0.95$0.5\le {\lambda }_i\le 0.95$)。

綜上所述，當(dāng)控制回路模式切換時(shí)，對(duì)各控制回路控制器參數(shù)校正步驟如下。

(1) 現(xiàn)場(chǎng)工藝人員根據(jù)其操作經(jīng)驗(yàn)給出所有輸入變量對(duì)所有輸出變量的模型參數(shù)k$k$、T$T$、τ$\tau$，分別將各回路投自動(dòng)，而其他回路投手動(dòng)，采用經(jīng)驗(yàn)湊試法獲得各控制回路初始PID參數(shù)值。

(2) 根據(jù)被控過(guò)程和控制器初始參數(shù)，求qii (jω)的穿越頻率ωc，進(jìn)而求校正前諸列Gershgorin圓的邊界點(diǎn)h'i${}_i^{\text{'}}$。其中穿越頻率ωc可采用牛頓迭代法解方程求解。

(3) 比較列Gershgorin圓的邊界點(diǎn)h'i,?1${}_{i,-1}^{\text{'}}$與(?1, j0)$(-1,j0)$點(diǎn)的大小，判斷系統(tǒng)整體穩(wěn)定情況，確定需調(diào)整的控制器ci (s)。

(4) 根據(jù)現(xiàn)場(chǎng)干擾大小及模型精度情況設(shè)定裕量系數(shù)λi${\lambda }_i$(0.5≤λi≤0.95$0.5\le {\lambda }_i\le 0.95$)，計(jì)算控制器增益調(diào)整系數(shù)pi。

(5) 校正后控制器為pi ci (s)。

上述控制器參數(shù)校正流程如圖8所示。

圖8

圖8   計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)流程圖

Fig.8   Computer-aided flowchart

4 實(shí)例分析

選取Shell公司的典型重油分餾塔模型為仿真實(shí)例[36]，如圖9所示。該重油分餾塔由一個(gè)側(cè)線汽提塔、三個(gè)中段循環(huán)回流（頂部循環(huán)回流、中段循環(huán)回流、底部循環(huán)回流）和頂部冷回流組成，操縱變量包括頂部抽出流量u1、側(cè)線抽出流量u2和塔底循環(huán)回流換熱量u3，被控變量包括塔頂餾出物溫度y1、側(cè)線汽提塔餾出物溫度y2、塔底循環(huán)回流抽出溫度y3、塔頂溫度y4、塔頂循環(huán)回流抽出溫度y5、側(cè)線抽出溫度y6、中段循環(huán)回流抽出溫度y7。重油分餾塔是一個(gè)多變量、強(qiáng)耦合、大時(shí)延的被控過(guò)程，被公認(rèn)為典型的比較難控制的對(duì)象，也是眾多學(xué)者用來(lái)驗(yàn)證理論研究的仿真實(shí)例。

圖9

圖9   重油分餾塔流程圖

Fig.9   Flowchart of heavy oil fractionator

本實(shí)例中，操縱變量和被控變量組成3個(gè)PID控制回路，分別為：頂部抽出流量u1 (kmol?h-1)-塔頂餾出物溫度y1 (K)，側(cè)線抽出流量u2 (kmol?h-1)-側(cè)線汽提塔餾出物溫度y2 (K)，塔底循環(huán)回流換熱量u3 (kJ?h-1)-塔底循環(huán)回流抽出溫度y3 (K)，現(xiàn)場(chǎng)工藝人員憑借操作經(jīng)驗(yàn)很容易獲取所有輸入變量對(duì)所有輸出變量的一階慣性純滯后模型，其傳遞函數(shù)矩陣為

G(s)=??????4.05e?27s50s+15.39e?18s50s+14.38e?20s33s+11.77e?28s60s+15.72e?14s60s+14.42e?22s44s+15.88e?27s50s+16.90e?15s40s+17.2019s+1??????$G\left(s\right)=\left(\begin{array}{ccc}\frac{4.05e^{-27s}}{50s+1}& \frac{1.77e^{-28s}}{60s+1}& \frac{5.88e^{-27s}}{50s+1}\\ \frac{5.39e^{-18s}}{50s+1}& \frac{5.72e^{-14s}}{60s+1}& \frac{6.90e^{-15s}}{40s+1}\\ \frac{4.38e^{-20s}}{33s+1}& \frac{4.42e^{-22s}}{44s+1}& \frac{7.20}{19s+1}\end{array}\right)$(24)

當(dāng)3個(gè)PID控制回路u1-y1、u2-y2、u3-y3分別進(jìn)行控制時(shí)，首先只將本控制回路閉環(huán)投自動(dòng)，其他控制回路開環(huán)手動(dòng)，避免控制回路之間相互耦合的影響，然后通過(guò)經(jīng)驗(yàn)湊試法整定獲得本控制回路初始PID參數(shù)。控制器初始參數(shù)分別為c1=(0.3, 0.01, 0.3)，即PID參數(shù)分別為：比例系數(shù)KP1=0.3，積分系數(shù)KI1=0.01，微分系數(shù)KD1=0.3，后文控制器參數(shù)寫法與之相同，c2=(0.5, 0.03, 0.3)，c3=(0.05, 0.004, 0.3)。各個(gè)控制回路在只對(duì)本回路閉環(huán)條件下在初始PID參數(shù)下是穩(wěn)定的。

假設(shè)系統(tǒng)的被控變量給定值為r1=1，r2=0，r3=2。然后按照u1-y1，u2-y2，u3-y3的順序?qū)?個(gè)PID控制回路依次由手動(dòng)投入自動(dòng)。通過(guò)仿真發(fā)現(xiàn)，如果不對(duì)各個(gè)PID控制回路的參數(shù)進(jìn)行校正，整個(gè)系統(tǒng)將不能穩(wěn)定；如果通過(guò)本文所述方法來(lái)校正控制器c1、c2、 c3，可使閉合后的系統(tǒng)依然可以穩(wěn)定。

(1) 只將控制回路u1-y1閉合，控制器參數(shù)初始值設(shè)置為c1=(0.3, 0.01, 0.3)。控制系統(tǒng)仿真曲線如圖10所示，可以看出，在僅有一個(gè)控制回路投入自動(dòng)時(shí)，整個(gè)控制系統(tǒng)是閉環(huán)穩(wěn)定的。

圖10

圖10   控制回路u1-y1閉合時(shí)輸出曲線

Fig.10   Output curve when control loop u1-y1 is closed

(2) 控制回路u1-y1到達(dá)穩(wěn)定后，在t = 1000 min時(shí)將控制回路u2-y2閉合，控制器參數(shù)初始值設(shè)置為c1=(0.3, 0.01, 0.3), c2=(0.5, 0.03, 0.3)。此時(shí)列Gershgorin圓的邊界點(diǎn)為h'1,?1${}_{1,-1}^{\text{'}}$=-1.1780，h'2,?1${}_{2,-1}^{\text{'}}$=-0.8685，可確定需校正控制器為c1，設(shè)置裕量系數(shù)為λ1=0.8，則控制器增益校正系數(shù)p1 = 0.6791。校正前后控制器參數(shù)及Gershgorin圓邊界點(diǎn)數(shù)據(jù)見表1。校正前后控制系統(tǒng)的閉環(huán)仿真輸出曲線如圖11所示。

表1   控制回路u2-y2模式切換時(shí)控制器參數(shù)及Gershgorin圓邊界點(diǎn)校正前后數(shù)據(jù)

Table 1  Control loop u2-y2 mode switching controller parameters and Gershgorin circle before and after correction

圖11

圖11   控制回路u2-y2切換時(shí)校正前后輸出曲線

Fig.11   Output curve before and after correction when control loop u2-y2 is closed

(3) 控制回路u1-y1和u2-y2到達(dá)穩(wěn)定后，在t=3000 min時(shí)將控制回路u3-y3閉合，控制器參數(shù)初始值設(shè)置為c1=(0.2037, 0.0068, 0.2037), c2=(0.5, 0.03, 0.3), c3=(0.05, 0.004, 0.3)。此時(shí)列Gershgorin圓的邊界點(diǎn)為h'1,?1${}_{1,-1}^{\text{'}}$=-1.3206，h'2,?1${}_{2,-1}^{\text{'}}$=-1.5565，h'3,?1${}_{3,-1}^{\text{'}}$=-0.2579，可確定需校正控制器為c1和c2。設(shè)置裕量系數(shù)為λ1=0.8，λ2=0.8，則控制器增益校正系數(shù)p1=0.6058，p2=0.5140。校正前后控制器參數(shù)及Gershgorin圓的邊界點(diǎn)數(shù)據(jù)見表2。校正前后控制系統(tǒng)的閉環(huán)仿真輸出曲線如圖12所示。

圖12

圖12   控制回路u3-y3切換時(shí)校正前后輸出曲線

Fig.12   Output curve before and after correction when control loop u3-y3 is closed

表2   控制回路u3-y3模式切換時(shí)控制器參數(shù)及Gershgorin圓邊界點(diǎn)校正前后數(shù)據(jù)

Table 2  Control loop u3-y3 mode switching controller parameters and Gershgorin circle before and after correction

從圖11和圖12可以發(fā)現(xiàn)，在現(xiàn)有控制回路已閉環(huán)的情況下，將新的控制回路也投入自動(dòng)，由于控制回路之間的耦合作用，等效被控對(duì)象發(fā)生變化，原有的控制器參數(shù)均不能與之適應(yīng)，Gershgorin圓邊界點(diǎn)將在(?1, j0)$(-1,j0)$左側(cè)，會(huì)導(dǎo)致閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定；而在新的控制回路模式切換的瞬間對(duì)原有控制回路的增益進(jìn)行校正，Gershgorin圓邊界點(diǎn)將調(diào)整至(?1, j0)$(-1,j0)$右側(cè)，閉環(huán)系統(tǒng)將恢復(fù)穩(wěn)定。

5 結(jié)論

本文基于對(duì)角優(yōu)勢(shì)下正Nyquist穩(wěn)定判據(jù)，從整個(gè)系統(tǒng)的角度研究控制回路模式切換時(shí)的穩(wěn)定性。通過(guò)對(duì)一階慣性純滯后多變量系統(tǒng)的頻域分析，找到Gershgorin圓邊界點(diǎn)的位置。根據(jù)原有控制器參數(shù)下的列Gershgorin圓邊界點(diǎn)，確定需要校正的控制器，然后根據(jù)Gershgorin圓邊界點(diǎn)與穩(wěn)定性之間的關(guān)系確定控制器增益校正系數(shù)。最后通過(guò)Shell公司重油分餾塔的多回路PID控制系統(tǒng)的實(shí)例分析，驗(yàn)證了該方法的可行性和有效性。

在實(shí)際工業(yè)現(xiàn)場(chǎng)，通過(guò)系統(tǒng)辨識(shí)獲得多變量系統(tǒng)的一階慣性純滯后模型較為容易，本文所述方法可輔助現(xiàn)場(chǎng)操作人員完成多變量系統(tǒng)常規(guī)PID控制回路的手動(dòng)/自動(dòng)切換，可以保證手動(dòng)/自動(dòng)模式切換時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。對(duì)于被控過(guò)程模型不精確和噪聲干擾問(wèn)題，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，可適當(dāng)減小裕量系數(shù)，來(lái)保證控制回路的穩(wěn)定性，而當(dāng)模型參數(shù)較為精確時(shí)，可適當(dāng)增大裕量系數(shù)以獲得較好的控制性能。