一維線(xiàn)性諧振子波函數(shù)及概率分布的可視演示

簡(jiǎn)諧振動(dòng)，在自然界中廣泛存在，所有在平衡位置附近做微小振動(dòng)一般都可以視為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。晶體中，原子在某個(gè)平衡位置的振動(dòng)，其形式和簡(jiǎn)諧振動(dòng)類(lèi)似，但原子的振動(dòng)本質(zhì)上是量子諧振子。深入研究量子諧振子，有助于晶體性質(zhì)深入學(xué)習(xí)。一維線(xiàn)性諧振子的可視化，已有部分文獻(xiàn)進(jìn)行討論，本文以Mathematica軟件為例，利用控件，探討一維線(xiàn)性諧振子的波函數(shù)及幾率密度的變化，使學(xué)生能更直觀(guān)的認(rèn)識(shí)波函數(shù)及幾率密度的物理意義。

1  一維線(xiàn)性諧振子的波函數(shù)和幾率密度

考慮一維線(xiàn)性諧振子的勢(shì)能為 ，則薛定諤方程為

該方程的解為

其中，。為厄米多項(xiàng)式。一維線(xiàn)性諧振子的能量為。其幾率密度為 。

2  波函數(shù)及幾率密度的作圖

Mathematica中，利用內(nèi)部命令Manipulate 可以實(shí)現(xiàn)對(duì)控件的操作，其基本形式為：

Manipulate[expr,{u,umin,umax,du}]

其基本含義為，產(chǎn)生一個(gè)帶有控件的expr表達(dá)式版本，該控件允許對(duì)u的值進(jìn)行交互式操作，其中umin，umax分別是u的最小值和最大值，du表示從最小值到最大值以du步長(zhǎng)變化。

根據(jù)一維線(xiàn)性諧振子的波函數(shù)，umin=0，du=1，設(shè)置umax=20，其代碼為：

為了方便，我們直接令質(zhì)量?？梢哉故静煌芗?jí)的波函數(shù)，這里設(shè)置的是n=0到n=100的能力，根據(jù)需求，可以調(diào)節(jié){{n,0,”能量“},0,100,1}中的“0”和“100”以及步長(zhǎng)“1”。

圖1  一維線(xiàn)性諧振子的波函數(shù)交互式圖樣（n=0，1）

通過(guò)調(diào)節(jié)控件，可以直接得出不同情況下的波函數(shù)圖樣，可以直觀(guān)的讓學(xué)生感受到不同能量情況下的波函數(shù)。

為了得到幾率密度與波函數(shù)圖樣的關(guān)系，可以在Manipulate中加入概率的相關(guān)命令，代碼為：

其交互式圖形見(jiàn)圖2。通過(guò)調(diào)節(jié)控件，可以分別得到不同波函數(shù)圖樣以及概率圖樣。

圖2  一維線(xiàn)性諧振子的波函數(shù)交互式圖樣（n=0， 15）

從概率圖中可以看出，當(dāng)n>2時(shí)一維諧振動(dòng)的粒子的波函數(shù)及幾率密度呈現(xiàn)中間小，兩頭大的情形，張迪等已經(jīng)進(jìn)行了比較詳細(xì)的討論，這里不再闡述。

3  結(jié)語(yǔ)

理論物理導(dǎo)論是材料物理專(zhuān)業(yè)的學(xué)科基礎(chǔ)課，涉及到分析力學(xué)、量子力學(xué)、熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理，內(nèi)容多、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)要求高、難度大。為了利用有限的課時(shí)，將物理概念講深講透，不能純粹只利用板書(shū)教學(xué)，需要將所授知識(shí)可視化。Mathemtaica等數(shù)學(xué)軟件，為數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容可視化提供了便利。本文以諧振子的波函數(shù)和幾率密度為例，以Mathematica的可控件操作，直觀(guān)的展示了波函數(shù)、幾率密度與n的變化情況，可以直觀(guān)的展示n變化的情況下，波函數(shù)及幾率密度的變化，為學(xué)生更深刻的理解諧振子的相關(guān)物理性質(zhì)奠定了基礎(chǔ)。

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